数学史对民族数学及其教育发展的启示

宁 锐，张 红



数学史对民族数学及其教育发展的启示

宁 锐1，2，张 红2

（1．华东师范大学数学系，上海 200241；2．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066）

民族数学的多元文化背景与学校数学标准化之间存在固有的矛盾，这种矛盾造成了民族数学及其教育中的一些现实困境．首先对民族数学与民族数学教育两个概念的涵义进行了辨析，然后基于历史相似性的视角分析了造成民族数学及其教育困境的现实背景和根源，分析了早期数学发展的经验性以及数学发展3个层面的超越性，并以古埃及数学发展为例讨论了数学发展在超越性方面的一些局限，最后提出了民族数学及其教育在3个超越性层面上发展的要求和路径．

民族数学（民俗数学）；民族数学教育；民族文化；数学史；超越性

“民族数学”是20世纪80年代数学教育界兴起的新兴研究课题．1984年在第五届国际数学教育大会（ICME-5）上，出现了“民族数学”这个新词汇，英文原文是Ethnomathe- matics，1985年4月，“民俗数学国际研究小组”正式成立[1]．中国是多民族国家，民族数学及其教育的研究显得尤为重要．自21世纪以来，中国对该课题的相关研究呈上升趋势[2]，研究课题的范围也比较广泛，如：从跨文化的角度对不同民族学生的数学学习进行比较研究[3~4]，专门针对少数民族学生数学学习的调查分析[5]，较多研究是从民族文化的角度来探讨对民族数学教育的课程、教学和学习的影响[6~8]，等等．这些研究反映了一个基本事实，那就是不同民族学生的数学学习存在较大的差异，这些差异背后的原因各异，解决的方法也就多种多样．从目前的研究主题来看，较少从数学自身发展的角度来分析对民族数学教育的影响．这里试图从这一角度展开分析，指出民族数学教育存在的一些现实困境及其根源，并提出一些民族数学及其教育发展的一些思路．

1 民族数学与民族数学教育的涵义及关系

“民族数学”（对民族数学与民族数学教育这两个概念的区分是基于香港大学梁贯成教授在学术报告中的分法）更一般的意义是“民俗数学”，基本含义是特定文化系统和具有特定生活背景的人群所产生和拥有的数学表现形式，包括3个方面的内容：相对于希腊传统意义下西方数学的非西方数学，比如中国传统数学；相对于主流文化数学的本土数学，比如西藏天文学中的数学；相对于学校标准数学的通俗数学，比如菜贩的数学知识．“民族数学”是指中国多元民族背景下少数民族文化背景中的“民俗数学”，既指少数民族文化中的“民族数学”，又包括他们的“本土数学”和“通俗数学”．“民族数学教育”有两层含义：一是“民族数学”的教育；二是民族的“数学教育”．前者突出了“民族数学”作为一种特殊的数学形态，后者突出的是相对于主流地区或文化下的少数民族在一般意义上的数学教育．这里的民族数学教育的意义主旨是后者，但是这又是基于民族数学发展起来的数学教育，因而民族数学的教育也就成为其重要目标．

因此，“民族数学”与“民族数学教育”相互影响又相互交织．“民族数学”因其融合于独特的民族文化而广泛影响着少数民族的生产实践，也必然渗透在民族的“数学教育”中，并且在一定程度上成为其中的一个部分．同时，由于文化影响的深刻性，“民族数学”也在一定程度上影响着它的数学教育的方式和路径．但是，另一方面，民族的“数学教育”由于受到主流数学的强势影响，人们在民族的“数学教育”中所见的数学主要是主流数学，加之“民族数学”在民族文化的潜在性，因此“民族数学”很容易式微而在数学教育实践中看不到踪影．这实际上造成了一种矛盾的现实，一方面希望“民族数学”得以发展，以保持数学形态的多元性和丰富性，并对民族的“数学教育”产生积极的影响，另一方面实际所见的是“民族数学”越来越向历史的幕后褪去，成为真正的历史．怎样解决这个矛盾呢？研究者把视角投向数学发展的历史，在历史宏大的视角中寻求这一矛盾的解决之道．

2 民族数学及其教育的困境与根源

在民族数学教育的研究中，人们常常从社会文化学的角度，强调了民族文化传统和背景对“民族数学”的制约作用，突出“民族数学”作为一种文化形态的独特性．正如怀尔德所说：“数学是一种文化，各个不同的文化体系会产生不同的数学．”[1]著名的民族数学活动家巴西圣保罗大学数学教授达布罗西奥（D’ambrosio）进一步把“民族数学”解释为，“人们为了生存，去解释、理解、超越和处理现实中数和形的一种活动．这种活动是随着社会的发展而变化着的．”[1]因此，“民族数学教育”就应该强调“从学生的传统观念、文化意识、社会背景出发，让学生在学习活动、日常生活、社会实践中学习数学”[1]．可见，突出民族数学或者民族文化传统对民族数学教育的影响与作用，无疑是学者们的共识．

但是，在今天民族数学教育的现实中，常常突显出一种矛盾困境：一方面，作为少数民族文化背景的学生，他们有着独特的文化传统和民族生活方式，这种多元的民族文化背景可能为学生提供非标准的数学知识或者与主流数学完全不一样的认知方式．另一方面，学生在学校里可能学习统一的标准数学．这种标准数学，就全世界范围来说，更多是指今天在古希腊传统意义下的西方数学．“民族数学”与标准数学之间的差异造成了这种矛盾的困境，也是很多民族数学教育中学生数学学习困难的原因之一．因此，面临这种困境时，人们很自然可以提出这样的问题“为什么处于不同文化环境的孩子，要学习统一的数学呢？”

为了解决这种困境，民族数学教育常常简单化为“民族化的数学教育”，即特别强调标准数学向“民族数学”还原．然而，由于各个“民族数学”相对主流的学校标准数学之间的不同层次的差异，在将标准数学向“民族数学”的还原过程中，很容易遇到很多现实的困难，比如“（在苗族、侗族的母语中）很多简单的数学概念很难（甚至不能）用民族语言准确地加以表达”[7]，有些汉语数学术语翻译成少数民族语言而失去了原有内含的数学涵义（如“正方体”翻译成维吾尔族语后只是一个抽象的数学符号而已[9]）．很显然，“还原”不是根本的解决之道．如果不辩证地看文化背景和数学发展的关系，就盲目地排斥“标准数学”，这样的结果常常就将民族数学教育置于比较狭隘的境地，而“民族数学”也不能得到发展．

事实上，上述矛盾就数学本身发展来说，也是存在的．数学一方面具有统一性，另一方面又具有文化背景的多元性．从柏拉图开始，数学家们就在追求超越现实与经验的数学的统一性，数学被作为理念世界里的对象．即使当代数学面临被越来越多的分支所分解的时候，大数学家希尔伯特在他那著名演讲——《数学问题》中仍然强调“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系”[10]．数学的这种统一性，是人们理解数学的基础．今天的数学家们似乎理解着同样的数学，甚至用同样的数学语言来表达数学．语言是思维的载体，因此在一定程度上甚至可以说，今天的数学家是以同样的思维方式在思考数学、发展数学．但是，数学的发展又是根植于多元化的文化背景，数学中有着多元的文化基因．这一点至少可以基于以下两个方面的事实：第一，数学是在不同的文化系统中发展起来的，在漫长的发展历史中，不同的文化传统仍然深深融于当代数学，比如即使今天数学被人们普遍认为是希腊传统意义下的数学，然而中国传统数学的算法精神仍然深深影响现代数学．吴文俊先生的“机器证明”就是中国传统的算法精神在当代数学发展中成功的典范．第二，今日社会数学家们仍然处在不同的文化传统中，他们理解数学的方式和思维方式常常与自己的文化传统密切联系．

今天所讨论的民族数学教育中的矛盾，大概可以看成是数学统一性与其生存和发展的文化背景的多元性之间的矛盾投射到数学教育中的情形．因此，在研究民族数学教育时，不仅要注意到民族数学教育向“民族数学”还原的经验性一面，从而奠定民族数学的根基，但另一面也要注意“民族数学”与“标准数学”之间的互动，从而实现民族数学及其教育的超越．对于前一点，似乎已经成为“民族数学”及其教育研究的主要特点与趋势，正如文[11]中总结了民族数学研究的特点和趋势：强调“民族数学”的田野研究；课堂教学中“民族数学”的运用突出教学内容的现实化、生活化，缩小与学生的生活之间的差距；在教师培训中也要突出“民族数学”的应用．而对于后一点，似乎人们较少关注到，而这里则从数学发展的历史角度来寻求对民族数学超越性方面的启示．

3 数学历史发展的经验性及其超越性

回溯数学早期发展的广阔历史，可以看到数学最早从人们生产、生活以及文化中发展的线索，比如：狩猎中产生数量，结绳记事中产生了数，宗教图腾崇拜中产生了各种图形的建构，从测量中产生了早期的计量数学，以及器皿制作、建筑、绘画装饰等都可以看到数学元素的产生．这些数学的原始形成与今天“民俗数学”研究中所考察的一些少数民族艺术品中所蕴含的“数学”知识一样，具有不同地区的、浓厚的本土文化和生活艺术化的特点，比如：非洲一些民族的门板、座椅、面具中所展现出的通过几何变换所揭示出的图形[12]；中国苗族、侗族等少数民族的服饰、鼓楼、建筑等以及生活、生产实践中蕴含着大量的数学知识[7]，等等．可见，民族数学及其教育的研究突出了民族数学与少数民族独特的生产实践文化的联系，具有突出的实践性和经验性，这与人类数学早期发展具有很多的相似之处．因此，民族数学的产生与主流数学的源头是有共性的，那么其发展的特点和路径也应该有相似或启发借鉴之处．

为此，这里聚焦对“河谷文明（主要是指兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明）”中数学早期发展的历史的分析．数学首先沿着河谷地区基于农业文明而发展起来的，是与生成实践紧密结合的数学早期发展的形态．河谷文明不同地区的数学发展具有较大的共同性．这里以埃及为例分析河谷文明中数学发展的特点．

古埃及人依靠广阔的地理屏障和尼罗河两岸的沃土创造了灿烂的古埃及文明，古埃及数学是其文明的重要组成部分．古埃及文明以古老的象形文字和金字塔为象征，其中都蕴含着古埃及的数学知识．首先古埃及人用象形文字把数学问题记录在纸草书中得以保存，通过这些各种各样的数学问题使人们知道埃及人懂得哪些数学知识，也通过这些问题的背景知道埃及人的数学是用来做什么的．翻开今天的数学史书籍，可以知道古埃及创立了象形文字的十进制记数系统，并且发明了颇有特色的单位分数，以此为基础，他们发展了复杂的计算系统，并娴熟地运用于生产生活实践中，显示了古代埃及人复杂而高超的计算能力．当然，也有一些问题属于今天的所谓代数范畴，其方程解法的“假位法”本质上是一种经验化的，通过代入验证的方式来求解．几何成就则主要表现为各种图形的面积和立体的体积计算公式，这与当时丈量土地、谷堆体积和建筑计算有关．总之，这些数学成就无论是知识背景还是内容似乎一致地指向了埃及农业社会的生产实践，这与今天很多民族数学与其生产实践背景的关系很相似．

埃及文明很辉煌，但数学发展总体上是初等的水平，埃及数学知识在埃及文明发展过程中保持了一种“静止特性”，“（埃及数学）就像传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化”[10]．波耶说：“埃及纸草书中所显示出的数学知识，大多数是实用性的，而且，计算是这些问题的主要元素，……而不是为了方便理解．”[13]“找不到任何证据说明古埃及人已经了解勾股定理哪怕是其特例．”[10]上述论断告诉人们：即使有金字塔建筑的辉煌，并且显示出高超的数学技术（如叹为观止的计算精确性），但是仍然可以说埃及数学在超越性方面存在局限，或者说找不到数学超越经验的证据．在数学发展的历史过中，应该看到数学发展的超越性本质．

从数学的发展来看，数学有3方面的超越性：第一，对经验对象的抽象性超越，也就是说，尽管数学对象是从现实中、经验对象中归纳或者抽象出来，但最终是要脱离于经验对象的依附，使其成为独立的数学对象，这样对数学的理解才能达到抽象的水平．只有在对数学对象抽象理解的水平上，才能够进一步探讨数学对象的形式和关系，这也是数学具有广泛应用性的根本原因．数学对象的抽象超越性在原始的数学知识中已经表现出来，哪怕是埃及纸草书中的数学问题，已经开始讨论数量关系的问题．第二，对经验活动的纯粹化超越，即数学的目的不仅仅是为了生产生活，而且还可以“为了理解”．这是数学为了纯粹思想的目的，也就是通过数学关系去理解世界，以数学关系为对象进行纯粹的思考，发展人的洞察力．对于这一点，相对于埃及数学来说，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的观点正好与之对照，以纯粹目的来建立数学的“理念世界”正好是古希腊数学的目的，这或许也蕴含了希腊数学能超越埃及数学的一个重要原因．第三，对思维方式的超越，这是指通过主体思维对数学对象的思考活动，不断改进数学思考的方法，表现为数学对象的逐级抽象，数学算法的改进以及数学方法的变革，等等，从而促进人自身思维方式的不断超越，从而表现为人的智力水平的提高．前两者都是主体对于客体认知上的超越，而这一点却是对主体自身的超越．人类的科学文明之所以发展到今天如此高的文化，与数学和其他科学带来人类自身的思维方式不断变革和提升有着重要的联系．著名数学史家波耶说：“20世纪的数学，已经发展成为一种高深复杂、颇难定义的智力活动．很多如今认为是数学的课题，最初都是人们集中思考数、量、形等概念所带来的产物．”[13]这一论断就揭示了数学智力超越性的数学活动本质．尽管考古学和解剖学告诉人们，古人和今人在生理意义上的智力天赋——大脑结构并没有多少差异，但是数学和科学给人带来思维方式的差异，却使得现代人的智力水平比古代人有了显著的提高．思维方式对于数学发展的重要性从埃及数学发展的局限性中也可以看出来，埃及数学不仅由于缺乏了对数学经验活动的纯粹性超越，使他们的数学未能像古希腊数学那样走上崭新的、理性数学的道路，而且由于诸如带有单位分数的运算系统，尽管有着令人惊讶的复杂性，但是埃及人却未能改进算法，超越繁杂的运算系统，从而让数学为人提供改进思维方式的机会．

4 民族数学及其教育发展的超越性路径

数学的发展与产生它的文化背景密切联系，这是研究民族数学的出发点．从数学发展的历史来看，数学既根植于产生它的文化背景，同时又超越特定的文化背景，成为具有普遍意义的文化新形态．推广至数学教育来说，一方面，要把数学学习与学生的文化背景联系起来，另一方面又要实现对“民族数学”的文化超越，在更广阔的意义上发展民族数学教育．下面就从数学发展的超越性本质来讨论民族数学及其教育发展在超越性方面的要求和路径．

（1）对基于民族文化背景中具有数学特征的对象进行数学抽象，实现数学对象的抽象性超越．

数学对象是从生活与文化背景中建构出来的对象，这是一种数学对象的抽象性超越．今天民族生活和文化背景中有很多具有数学意义的对象，但这些对象与它的现实原型并没有分离，比如非洲的民族生活中有各种图案，而这些图案中蕴含着多种数学变换，并被作为其民俗数学的一个部分[12]．但是，图案终归不是变换，只有把这些图案中所蕴含的数学变换的意义解释出来，并经过重新建构才能成为民俗数学的一部分，也才能实现数学对象的抽象性超越．在中国“苗族、侗族的母语就不能准确地表达分数、小数、正数、负数等有关数的概念，也不能准确表达垂直、平行、直角三角形、正方形、长方形、平行四边形等有关几何概念”[7]，但这些民族文化中也一定有表示这些对象的方式和方法，找到这些具体数学特征的对象或方式方法，经过抽象化重构，变成民俗数学的对象，才能完成民族数学对经验对象的超越．在重构这些民族数学中的对象时，应该基于民族文化和语言自身特点，才能建构这些具有独特文化背景的数学对象，这样，民族数学就可以超越民族文化中数学的经验水平，使数学对象在少数民族生产实践活动具有更广泛的意义和适用性．

（2）对民族生产实践中经验活动的超越，实现数学的理性价值．

数学早期的发展，经验性是数学的一个基本特点，数学的经验性不仅意味着生产实践产生着数学，而且也通过它保存和传播数学知识．数学的经验性也是今天民族数学的显著特征．很多研究就是从不同文化系统中发现基于社会生产生活实践所创造的具有民族文化特色的数学形式．比如，中国关于侗族、苗族文化中的数学[7，14]；南美洲的土著民族有自己的数学，包括记数系统和计算方法，几何意义和图形概念等[1]．这些研究揭示了民族数学的形式以及相应的生产、学习和传播与少数民族中的民族文化和生产实践的密切联系，揭示了民族数学产生的根源和动力，无疑这些研究是重要的．但是，硬币分为两面，当人们在关注民族数学向民族文化背景的转移，突出数学文化的本土化的时候，更多体现了民族数学及其教育的实践性和经验性，常常缺失了数学对经验活动超越方面的讨论．

怎样来发展民族数学及其教育对经验活动的超越呢？民族文化有超越经验性的基因吗？文化的本质有超越经验活动的特性，这就体现在文化更多是关乎人的精神层面的内容．对于数学来说，文化的超越性体现在数学对人所彰显出的理性精神的价值．如果把数学退回到生活数学、实用数学，那么数学作为精神层面的理性文化价值既不能得到彰显，又对民族文化不能增添有价值的内涵．数学对经验活动的超越是指数学作为纯粹思想的一面，是为了得到对世界的深入理解．数学如果缺乏为了理解的目的，它也就缺乏了进一步前进的动力．河谷文明时期的数学之所以未能完成对经验活动的超越（包括中国传统数学发展也有类似的情形），其文化中缺乏理性精神追求是一个重要的原因．对于今天的民族数学教育来说，有了河谷文明时期数学发展的借鉴，对经验活动的超越，应该成为民族数学及其发展主动追求的一个目标．

对经验性的超越的方法来说，应该更多关注民族数学中已有的对数学经验有超越性的内容．比如，埃及数学中有一个例子就是具有启发性的，那就是莱因德纸草书中第79题：7座房，49只猫，343只老鼠，2 401棵麦穗，16 807赫卡特（注：古代埃及的容量单位）．显然，这个题目并不是实际中的问题，而是数字有着规律的、纯粹的数学题目．有人认为：“这是带有纯粹游戏性质的几何级数求和的问题．”[10]这个例子启发人们，数学最初作为纯粹的对象是通过融合在如游戏、诗歌这类民族艺术文化的活动中，而这类活动正好反映了人类的一种纯粹化的思想，关注人的精神层面．数学作为纯粹的思考对象与人类其他的艺术形式活动一样，具有精神追求的意义，而这条道路正是数学的理性发展道路．

（3）对民族数学中思维方式的超越，实现数学的智育价值．

数学在一定意义上是人类智力活动的结晶，任何一种形式的数学都在一定程度上承载了某种特征思维方式，并通过这种数学促进人的思维活动方式的发展．对当今的人类来说，无论是哪一个族群，其智力水平和认知能力都没有多少差异，特别是从解剖学意义上来看，全世界的不同人之间的智力天赋实质上没有什么太大的差异．但是，另外一方面，不同人之间在智力和认知上都表现出很大的差异和个性化，这种差异原因在哪里呢？这种差异本质上是思维方式上的差异．而数学带给人或者人类来说重要的价值，就是通过人自身的思维活动，不断改造人的思维方式，从而实现智力水平的超越．埃及数学中运算系统的复杂性，对于今人来说也不能不说是一个巨大的挑战，说明古埃及人在思维的复杂程度已经达到很高的地步，但是由于缺乏对算法的反思与改进，因而埃及数学的思维水平仍然是非常初等的．

怎样在民族数学教育中实现基于民族数学对于思维方式的超越呢？首先要对已有民族数学内容或者新建构的民族数学内容，按照数学一般意义上进行分析，这些内容在思维方式上存在哪些局限，怎样在一般意义上进行改造或者重建．今天的数学中对于人的思维方式最有价值的是彰显了诸如“抽象”、“一般化”、“形式化”、“压缩与逐级抽象”等具有普遍意义的思维方法．作为民族数学或者民族数学教育的研究学者，应该考虑作为现代数学中具有普遍意义的思想方法如何与民族数学整合，甚或改造建构都是必要的．对于民族数学教育来说，就是在民族数学的学习中，最重要的还是一般意义的“数学思想方法”的学习，而不是数学形式的还原．这一点是重要的，在讨论“民族数学”和“民族数学教育中，人们可能有意无意地突出后者而忽略前者．在民族数学教育及其研究中，如果注意从一般意义上的数学思维方法的角度来理解、改造和建构民族数学，那么不仅对于学生智力的超越是有意义的，而且有利于民族数学的重建．

5 结 语

正如习近平总书记在“纪念孔子诞辰2 565周年国际学术研讨会”上的演讲报告中所说：“不忘历史才能开辟未来，善于继承才能善于创新．”历史与现实在一定程度上具有一定的相似性，数学历史对于今天的民族数学及其教育也一样，在一定程度上历史可以给予人们启示．

[1] 张奠宙．数学教育研究导引[M]．南京：江苏教育出版社，1998．

[2] 陈婷．近十年我国少数民族数学教育研究的回顾与反思[J]．民族教育研究，2013，（6）：121-127．

[3] 吕世虎，付敏，孙名符，等．藏、汉学生智力因素和非智力因素对数学能力发展影响的跨文化研究[J]．教育研究，1995，（1）：70-74．

[4] 夏小刚．布依族、汉族地区初中数学运算能力的跨文化研究[J]．数学教育学报，2001，10（3）：84-87．

[5] 汤服成，廖克顺，叶蓓蓓．广西巴马县壮、瑶族学生数感的比较分析[J]．数学教育学报，2006，15（3）：46-50．

[6] 代钦．多元文化形态下的中国数学教育——对中国少数民族数学教育的一些思考[J]．数学教育学报，2013，22（2）：2-4．

[7] 罗永超，吕传汉．民族数学文化引入高校数学课堂的实践与探索——以苗族侗族数学文化为例[J]．数学教育学报，2014，23（1）：70-74．

[8] 吕传汉，汪秉彝，夏小刚．贵州民族地区基础教育的跨文化数学教育研究[J]．数学教育学报，2009，18（5）：83-87．

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[10] 李文林．数学史概论（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[11] 杨新荣，宋乃庆．国际民俗数学研究：特点、趋势及启示[J]．民族教育研究，2011，（6）：32-35．

[12] 唐恒钧，张维忠．民俗数学及其教育学转化——基于非洲民俗数学的讨论[J]．民族教育研究，2014，（2）：115-120．

[13] 卡尔·B·波耶．数学史（修订版）[M]．尤塔·C·梅兹巴赫修订．秦传安译．北京：中央编译出版社，2013．

[14] 肖绍菊．苗族服饰的数学因素挖掘及其数学美[J]．贵州民族研究，2008，（6）：108-109．

Enlightenments on Ethnomathematics and Its Education Development by the History of Mathematics

NING Rui1, 2, ZHANG Hong2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610066, China)

There was intrinsic contradiction between cultural diversity of ethnomathematics and standardization of school mathematics. Some realistic difficult situations in ethnomathematics and its education arise from the contradiction. Firstly, this paper discriminated the implication of ethnomathematics and ethnomathematical education. Then it analyzed the realistic background and root cause which result in the difficult situations of ethnomathematics and its education from the perspective of historical similarity. It also analyzed some empirical features in early development of mathematics and three-level transcendence in mathematical development, and discussed some limitations concerning transcendence by taking early mathematical development in Egypt as an example. Finally, it raised the requirements and approaches in three transcendence levels for the development of ethnomathematics and its education.

ethnomathematics; ethnomathematical education; ethnic culture; history of mathematics; transcendence

[责任编校：周学智]

G750

A

1004–9894（2017）04–0087–05

2017–03–03

国家自然科学基金项目——数学符号的演变与传播研究（11471232）；民国时期中外数学交流与四川数学的发展（11526018）

宁锐（1972—），男，四川仪陇人，讲师，博士生，主要从事数学教育与数学史研究．张红为本文通讯作者．