数学教学内容知识（MPCK）实证研究综述与启示

程德胜，武 晨，庄国华，罗今超



数学教学内容知识（MPCK）实证研究综述与启示

程德胜1，武 晨1，庄国华1，罗今超2

（1．江苏联合职业技术学院南京分院基础部，江苏南京 210019；2．莫纳什大学信息技术学院，澳大利亚墨尔本）

MPCK是有效教学的基础和数学教师专业发展的重要关键性内容．对MPCK进行实证研究主要有两种视角：认知观与情境观，目前出现了融认知观和情境观于一体的MPCK实证研究趋势．从“MPCK实证研究的概念模型；MPCK实证研究的切入理论，MPCK实证性研究方法，MPCK实证研究的内容和结果；以及基于研究结果的对MPCK实证研究的分析”对数学教师MPCK的实证研究做了综述．对教师MPCK实证研究进行综述研究，意在促进MPCK与教学的关系研究、教师培训内容的设计、教师MPCK的发展提升，同时也为今后进行MPCK实证研究提供借鉴与参考．

MPCK（PCK）模型；情境观与认知观；实证研究；启示

Shulman提出的PCK（Pedagogical Content Knowledge）概念的理论意义在于：回答了教师教学需要什么样的知识——“PCK是内容和教学法的整合，是教师特有知识结构的核心范畴，是教师对专业的特殊的理解形式”[1]．实践意义方面，教学层面，教师依托PCK将学科知识的学术形态转化为易于为学生接受的教育形态；教师专业发展层面，PCK成为“区分学科专家和一般教师的知识体系”[2]，为教师发展与提升指明了方向．国内外学者对PCK内涵、构成与表现形式进行了广泛的研究[2~15]，并进行PCK学科具体化，例如MPCK（Mathematical Pedagogical Content Know- ledge），并基于MPCK理论，对MPCK开展了实证研究[16~68]．这里主要就2015年之前国内外关于MPCK的实证研究进行简要的综述分析．

研究的资料收集时间截止2015年底，主要通过国内与国外两种途径进行收集．国外，通过莫纳什大学图书馆的网站http://www.monash.edu.com/library、莫纳什大学教师和研究生使用的网站http://www.citethisforme.com/zh以及公共数据库Web of Science和https://eric.ed.gov，在以上资源库中输入以下关键词：Mathematical Pedagogical Content Know- ledge或Pedagogical Content Knowledge或Mathematical Education Empirical Research．国内，主要基于知网，以“MPCK”、“Mathematical Pedagogical Content Knowledge”、“PCK”、“数学教学内容知识”、“教学内容知识”、“数学教育实证研究”作为关键词进行资料查找．对搜集的资料经过筛选，收集相关实证研究文献68篇，其中中文文献7篇，外文文献61篇．

1 MPCK实证研究依据的概念模型

PCK概念提出以后，很多学者对此进行了后续系统研究，并逐渐发展了MPCK（PCK）实证研究的概念模型．对教师MPCK实证研究时，依据的概念模型主要为MPCK模型和MKT模型，这两种模型以MK、PK与CK编制问卷内容；也有学者根据MPCK概念模型，提出了“话题MPCK”与“课堂MPCK”，以访谈形式调查教师的“话题MPCK”与“课堂MPCK”．具体的模型分以下几种．

PCKg模型．Cochran、King等[9]在PCK的基础上，引入了“认知”元素和知识生成的动态过程，使用PCKg（Pedagogical Content Knowing）来代替PCK，强调学科教学的动态性，与数学学科结合就是MPCKg．PCKg在PCK基础上增加“关于学生的知识”和”关于学习情境的知识”．PCKg相较PCK：一是将学习心理学知识纳入PCK模型；二是PCKg更强调教师对学科内容知识、教学法知识、关于学生的知识和关于学习情境的知识这4种知识的综合理解、整合与建构的过程．

MKT模型．Ball等[10]从认知视角，并在数学学科对PCK进行实证研究，提出了MKT（Mathematical Knowledge for Teaching），推动了PCK在具体学科方面的发展，MKT由MCK与PCK组成．MCK包括:（1）一般数学内容知识（Common Mathematics Content Knowledge）；（2）专门数学知识内容（Specialized Mathematics Content Knowledge）；（3）联系性数学内容知识（Horizor Mathematics Content Knowledge）．PCK包括（1）关于对学生数学思维认知的内容知识（Knowledge of Content and Students）；（2）关于使数学知识易于被学生理解的教学知识（Knowledge of Content and Teaching）；（3）课程的内容知识（Knowledge of Content and Curriculum），KCS、KCT、KCC分别对应于Shulman模型的学生知识（包括误解和难点）、教学策略与表征的知识、课程知识．

PCA模型．喻平教授基于PCKg的优点与不足，提出了学科教学能力PCA（Pedagogical Content Ability），PCA强调3点[11]：第一，不同教师PCK的形成必须基于自身的知识结构、教学实践的经验，一旦形成就带有教师个体的特性，因而不同个体的PCA存在差异．第二，教师教学基于不同的教学情境，情境性依附于教学的过程，因而PCK应该被视为教学的程序性知识，教师PCK要注重教师教学情境性知识的应用能力．第三，PCA是实践形态的PCK知识，在实践中生成，同时又指导教学实践、决策与行为．教师的PCA只能与学科知识教学相关，离开了具体的学科（如数学等）就无所谓PCA或PCK．事实上，这是研究教师学科教学知识或学科教学能力的出发点．

PCK与信息技术的融合发展模型[12]．这方面的发展有TPCK（也称TPACK）（Technology Pedagogical And Content Knowledge）与基于TPCK提出的ICT-TPCK，TPCK由PK、CK与TK组成，ICT-TPCK中的ICT指学生使用信息技术的知识．数学学科方面的TPCK就是MPCK与TK（Technology Knowledge）的融合，由MK、PK、CK、TP组成．

2 MPCK实证研究的切入理论

关于PCK主要争论围绕：教学中，知识是否仅仅被定位为“在个别教师的头脑中”或是仅仅在具体情境中才有意义．Shulman等学者[16]对PCK持静态观点，认为要从基本的认知角度审视PCK，PCK是关于教特定学科的事实知识，在课堂情境中，PCK可独立地获取与应用．对PCK持动态观点的学者[17]，认为PCK是情境化动态的知识，在一个特定的课堂情境中，PCK是“Knowing-to-Act”的行为，与教学行为具有内在联系，个体只有通过参与、反思和观察，才能获得教学实践，使PCK变成可见．

因而，MPCK实证研究时产生两种切入观点：认知观与情境观[18]．持认知观点的学者认为基于认知观研究：有助于为教学和学生学习结果之间的联系提供证据；有助于区分MPCK和其它类别的教师知识；有助于确定有效教学中发挥重要作用的各种知识；有助于洞察教师个体MPCK的空白，为设计教师专业发展提供了有益信息．

持情境观点的学者认为，教学行为（数学学科）包括数学以及教育等多个维度，如，教师的情感因素与教师MPCK有内在关联[18]，进而，教师的教学选择要同时反映数学和教学的思考[19]，教学中重点关注教师的“Knowing-to-Act”而不是教师的事实知识[20]．基于情境研究，可以更好地了解在课堂教学情境中究竟真正发生什么，教学中真正重要的知识，以及教学过程中不同类型知识之间的密切相互作用．

3 MPCK实证研究方法和内容

3.1 MPCK实证研究方法

通过观察法、问卷调查法、测试法、个案研究法、访谈法、实验法、视频课例研究法等方法是获得教师MPCK实证研究数据的主要来源，并对这些数据进行分析研究（这里，把以上方法称为MPCK的实证研究方法）．实际上，从MPCK实证研究的切入理论角度看，以上MPCK实证研究方法又可以分为认知型研究与情境型研究，并可以把认知型的MPCK实证研究归类为静态性研究，情境型的MPCK实证研究归类为动态性研究，目前也出现了认知—情境融合的MPCK实证研究趋势．

实证研究最常用的方法为调查法，调查研究通常使用“测试”或“问卷调查”形式去获得测试者MPCK；也有利用“面谈或采访”、“课堂观察（现场记录、视频或录音等）”、“会议观察（专题研讨会、介入课程）”、“文档分析（课程计划、代表作品集、日志、电子论坛信息）”、“概念图（图形化陈述概念间的关系）”作为研究方法，使用这种研究方法的就属于情境型研究，持这种观点的学者认为只有“在行动中”才能获得被测试者的MPCK．

MPCK的实证研究目前多集中于数学学科中的下面内容，如数学（量）概念；运算；函数和代数、统计、分数（小数、百分数）、推理、几何学、问题解决等．

3.2 MPCK实证研究内容和结果

已有的MPCK实证研究，从研究的内容看，主要集中在以下方面：MPCK与教学的相关性，MPCK与CK之间的关系，教师MPCK的特征，以及教师MPCK的发展问题等．

第一，教师MPCK与教学相关性研究．

（1）教师MPCK与教学行为关系的研究．有学者[21]从情境视角，采用课堂观察与访谈相结合的案例研究，发现教师的MPCK与教学实践是相关联的，优良的MPCK（和CK）对有效教学是必要的．另有学者[22]从认知视角，先测试教师MPCK，接着和教学质量相对照（对学生进行关于教学方法的问卷调查，再对教师进行课堂有效管理策略问卷调查），之后和课堂视频录像进行对比研究，最后对获得的数据进行对比分析．发现教学质量和MPCK显著相关（相比CK来说）．还有学者[6]通过对职前教师MPCK与教学行为关系的干预研究，发现职前教师培训课程不仅能提高他们的CK与MPCK水平，而且能提高他们的教学实践水平，进而提升学生的学习成绩．

（2）教师MPCK与学生学习结果关系的研究．有学者[22]主要通过测量学生的学习结果，以及跟踪学生学习进展，进而研究教师MPCK与学生学习结果之间的关系．研究发现教师的MPCK与学生的学习结果以及教学方法之间呈正相关，而且，MPCK与学生学习效果之间的相关性明显高于CK与学生的学习效果之间的相关性；同时，研究结果也揭示干预不仅能提高教师的MPCK水平，也可以提高学生的学习效果．

第二，教师MPCK与CK之间的关系研究．有学者[23]在课堂教学情境中揭示CK与MPCK的关系，研究发现，在教学行动中可以揭示CK与MPCK的相互关系，使用不同的测试内容测定CK和MPCK，结果显示出二者是正相关的，CK对于MPCK来说是虽不是充分条件，但为必要条件．有学者[16]利用大范围的测验，调查教师CK与MPCK的关系，研究发现，可以从经验上对CK与MPCK加以区分，且教师的CK、MPCK与教师的教育程度、教育背景具有很大的相关性．

第三，教师MPCK的特征研究．

（1）教师MPCK教学特征研究．有学者[25]利用话题MPCK的方式调查农村教师的MPCK，研究得出农村教师MPCK的特点为直观化的表达与解释，注意教学内容的前后联系；MPCK来源显现本源性和单一性的特点，主要是“自身的教学经验与自我反思”和“教科书”，其次是“与同事交流”、“课堂听课与教研活动”，其它为“网络资源”、“职前培训”、“在职培训”、“专业书刊”和“作为学习者的经验”．有学者[26~27]研究观察到中国和美国教师的不同教学方法处理，一般而言，中国教师侧重于传统的、严格的教法，强调数学学习过程和发展学生的概念能力；而美国教师努力尝试促进学生的数学创造性和探究能力，进而达到发展学生的数学概念理解能力．

（2）教师MPCK的个性特征研究．有学者[28]利用MPCK构成（MK、PK、CK），编制数学教师的MPCK调查问卷，研究高中数学教师MPCK的知识结构与教师MPCK来源，研究得出高中数学教师MPCK的发展呈现个体差异化，且教师的教龄、性别、最终学位、并不影响其MPCK的发展．有学者[29]通过测验教师MPCK，然后进行大数据分析，得出：不同于CK，MPCK在性别间没有差异；语言对教师CK的影响比对教师MPCK的影响大；教学经验对MPCK有积极作用；有学者[30]研究得出教师的教育水平和他们的MPCK具有相关性，教师的教育水平对CK的影响比对MPCK的影响大．有学者[26~27]研究发现不同国家教师的MPCK具有差异性，例如，美国教师与中国教师在进行分数教学时，“确保学生对分数正确理解”的教师的概念识别知识存在差异，以及教师对学生学习分数时所需要的先验知识也存在不同．

（3）职前教师MPCK认知特点的研究．有学者[31]就学生分数乘法普遍的错误思想、这些错误想法产生的原因以及如何利用教学策略去帮助学生客服这些错误想法，调查了职前教师关于这方面的知识，研究发现，职前教师MPCK和在职教师MPCK在知识的呈现方式、组织、以及对问题的解释等方面存有差异．具体地，在解释学生的错误和教学策略应用时，职前教师的MPCK更加程序化与具体化（相对应概念化）．有学者[32]基于情境视角，如课堂观察，在教学行动中获得教师的MPCK，研究发现，在不同的数学子域，职前教师的MPCK倾向于具体主题化而不是一般的数学概念化．

第四，教师MPCK发展与提升的研究．有研究[33]对教师在其培训或职业生涯期间MPCK的演进情况，以及对MPCK的发展起促进作用的条件（如合作学习、专家指导、专业共同体中的合作等）进行了研究，研究揭示（职前）教师MPCK可以通过各种形式的培训或讨论得到训练，而且，各种形式的培训，如案例讨论、教材的使用、领域的经验、深度访谈、合作学习、小组讨论，甚至是1~2小时现场教学实践的培训课程都可能会影响教师的MPCK．另外，对培训结果的研究[34]显示，培训前后，职前教师对教学知识的认识在转变——从工具性的MPCK（显示规则和程序给学生）转变为关系性的MPCK（关注意义给予）．

在教师MPCK发展的实证性研究中，目前出现了融认知视角与情境视角于一体的MPCK实证研究，例如，有研究者[35]把认知型研究与情境型研究进行了初步融合，在教学实践活动中，对研究对象在教学实践中的反思和再学习情况进行研究；有研究团队基于“教师教育课程计划的调查”[37]，在阶段性的培训课程中对研究对象的MPCK变化状态进行研究．研究显示：活动整合的反思性实践和写作式的数学学习可以挑战研究对象目前的数学的思维，以及提高研究对象的教学内容知识和对知识内涵的理解[35]；观测到职前教师MPCK的发展变化情况[36]，“好的课程设计”（如课程内容与活动的明晰与简洁、任务的布置、学生的数学理解评估、研究对象被要求解释数学问题的PCK和CK联系等）有利于教师MPCK的发展．

4 对MPCK实证研究内容和结果的审视

第一，从研究的内容看，MPCK实证研究中存在不平衡．实证研究主要集中在数学教育领域，特别是集中于教师MPCK的发展，只有少数的研究是为了研究教师MPCK和教学以及和学生学习效果之间的关系．

第二，从研究的指向看，MPCK实证研究的出发点和目的，很大一部分是为了发展、推动MPCK概念，以及验证MPCK各成分间的关系意义[10]．例如，相同的观点使用不同的术语，不少学者标签MPCK的组成成分不同，而实际上却表达类似的想法；再例如，相同的术语有不同的观点，这从学者对内容知识的解释和对PCK概念发展的研究可以窥视一二．

第三，从研究的方法看．

认知视角的MPCK是静态的、“冰冷”的知识结构，缺乏内在的火热的情感，认为在不同的社会、文化、历史、课堂语境等背景下，MPCK都必须符合统一规范的标准，这必然忽视了MPCK的复杂性和课堂的情境性，进而带来如下一些问题，教师MPCK与课堂语境脱节，忽视教师MPCK之间存在差异（例如，差异可能是教师自身文化背景的差异造成的[18]）；忽视教师知识基础的不同类别的相互作用，以及其在教学行为中的整合；忽视教师MPCK中情感等方面的因素（例如，教师的主体个性和师生间的情感纽带）[20]．

如果说，认知观过于理性，那么情感观可能过于感性了，情境观专心于课堂，可能会淡漠对教师MPCK认知的关注，再加上基于情境观的MPCK实证研究没有办法做到大范围、大规模研究，只能专注于规模和范围都较小的案例的研究，教师课堂教学行为的选择以及选择这种行为的理由可能就构成了MPCK的本质，造成对MPCK的理解就是一种有限的理解[18]，而实际上课堂观察是不足以揭示MPCK的本质．因而，会带来一些问题，导致对MPCK的误解[20]——MPCK只是由课堂和课堂实践的关系来制定，从而造成把MPCK从其他知识类别区分开的困难，使对MPCK的描述变得难以把握．

上述情况表明，单纯地基于认知观或基于情境观进行MPCK实证研究都有各自的利弊，两种研究视角的整合应是MPCK实证研究的趋势．

当前，在教师MPCK发展的实证性研究中开始出现认知观和情境观两种研究趋于融合的新变化．

第一种新变化，认知观与情境观研究出现融合的趋势，例如“R-WTLM”[35]（Reflective Practice and Writing to Learn Mathematics）研究，研究者基于教学实践活动，引导研究对象在活动中反思和再学习，概括地，研究者进行教学活动整合，研究对象对教学活动进行反思性实践，之后对调查问卷中数学特定主题或问题，根据提示的要求进行解释，实现数学写作式学习（“Writing to Learn Mathematics”）．“R-WTLM”解决了如何进行反思性实践，以及教师怎么理解教与学中的数学，进而获得不同的观点和替代的可能性，并认识到相关“错误的可能性”，实现新旧教学思维方式的转化．

第二种变化，在动态过程中观察教师MPCK认知状态的变化，即，教师MPCK的实证研究由静态的认知状态调查趋向在过程（培训课程）中调查（观察）教师MPCK的动态变化．例如，TELPS[36]（Teacher Education Lesson Plan Survey），研究者着眼于从开发的系统课程中对教师的MPCK状态进行动态的实证性分析研究，研究者选取澳大利亚和德国的各一所大学3个年级的职前教师（已具有一定层级的执教资格），通过制定课程计划（主要内容为数学和教育学）、规范TELPS的要素（包括用来确定后续调查但能保持匿名性的代码、好的数学课标准、课程学习的相关细则规范、两组课程计划、用于比较两组课程的评价），设置两个比较组（18个月的和12月的），分别使用两套不同的数学课程进行培训，然后进行纵向数据收集，根据TELPS数据分析理论方案，观察职前教师MPCK的发展变化情况．

5 MPCK实证研究的启示

MPCK实证研究对今后教师MPCK的研究有以下的启示意义．

第一，教学层面，对教师MPCK的实证研究，特别要加强MPCK与教与学的关系研究，目标指向有效教学．既要专注于教师的课堂教学实录，在教学行动中揭示MPCK和教学效果、学生学习成绩等之间的关系，置MPCK静态研究于动态的课堂实践研究中，进而揭示什么是教学课堂中的“Knowing-to-Act”知识；同时，也要从认知观点角度调查教师MPCK的状况、特点、不足（空白）以及MPCK的来源，完善教师MPCK的知识结构框架与事实知识，提升有效教学的MPCK实践研究．

第二，教师MPCK提升层面研究．其一，加强对教师MPCK培训实施的实证研究，例如，教师的合作学习与参加专业共同体学习（案例讨论、教材使用体会、领域经验的交流等）、教师分享与合作开发MPCK案例、专家指导培训（指导教师在学习中反思，并及时干预）等，重点对这些培训如何促使教师MPCK的发展进行研究．其二，加强对教师MPCK基于课堂教学实践的提升研究，教师MPCK代表教师的数学学科知识由学术形态向教育形态转化的改造能力，这种能力的发展必须基于课堂教学实践，重要的提升途径之一就是重视MPCK案例开发，有学者[25, 37]从MPCK的教学表现形式视角，把MPCK分为话题MPCK（涉及数学学科的命题、概念等具体主题）与课堂MPCK（数学课堂教学方面），话题MPCK可以提升与发展教师在针对具体数学问题时，其呈现问题方式的能力；课堂MPCK可以提升教师在面对特定情境（差异化的内容和学生）时，教师组织、管理课堂教学的能力．有学者[53]提出从具体的MPCK案例出发，引导学员在自我反思中建构其在具体教学行为时的MPCK，之后，创设情境，让学员尝试开发MPCK案例，探索“话题”MPCK与“课堂”MPCK，发展其MPCK．

第三，加强对教师群体（个体）MPCK特征的研究．从已有的MPCK实证研究看，教师的MPCK带有群体（或个体）的色彩，例如，在职教师与职前教师的MPCK存在明显差异、文化背景的差异导致教师MPCK存在差异，这些MPCK的差异进而导致课堂教学的差异．导致这些差异的原因是什么，是否就是和教师的教学实践经验（经历）或文化背景相关？这些差异为何会影响教师的教学行为与教学决策？从对教师MPCK的影响因素以及对MPCK对教学的影响看，今后都有必要加强对教师群体（个体）MPCK特征的实证研究，特别是在课堂教学实践中的MPCK的特征研究．

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Analysis and Enlightenment of Empirical Research on Mathematics Teaching Content Knowledge (MPCK)

CHENG De-sheng1, WU Chen1, ZHUANG Guo-hua1, LUO Jin-chao2

(1. Sub-branch of Nanjing, Jiangsu United Vocational and Technical College, Jiangsu Nanjing 210019, China;2. Faculty of Information Technology, Monash University, Melbourne, Australia)

MPCK (Mathematical Pedagogical Content Knowledge) was the important content of mathematics teachers’ professional development and the basis of effective teaching. There were two main perspectives in the empirical study of MPCK: the cognitive view and the situational view. At present, there was a trend of MPCK empirical research which integrated the cognitive view and the situational view. The article made a summary of the review from “the model of MPCK empirical research; the theory of MPCK empirical research, the methods of MPCK empirical research, the content and results of MPCK mpirical research; and the evaluation of MPCK empirical research”. The enlightenment of empirical research: it was intended to promote the research of relationship between MPCK and teaching, the design of teacher training content, the development of teachers’ MPCK, at the same time, it also provided reference for MPCK empirical research in the future.

MPCK (PCK); empirical research; situated perspective and cognitive perspective; enlightenment

[责任编校：周学智]

G420

A

1004–9894（2017）04–0065–07

2017–03–09

2014年教育部人文社会科学规划基金项目——我国农村中小学教师的TPACK及其教学表现研究（14YJA880054）；江苏省第三期职业教育教学改革研究重点资助课题——信息化环境中教师认识信念对“学与教”变革影响的研究（ZZZ5）

程德胜（1970—），男，安徽合肥人，副教授，主要从事数学课程与教学论及职业教育研究．