数学抽象及其教学

李昌官



数学抽象及其教学

李昌官

（台州市教育局教研室，浙江台州 318000）

数学抽象是数学最基本的思维方式，它具有纯粹性、精确性、理想化、模式化、形式化等特点．数学抽象通常要经历感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等5个阶段．为了更好地发展学生数学抽象素养，数学教学应夯实抽象的基础，指导抽象的方法，重视抽象的过程，加强学生抽象实践，加强对抽象素养的评价．

抽象；数学抽象；数学抽象教学

数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行运算与逻辑推理的科学[1]．数学抽象是数学最基本的思维方式，提升学生的数学抽象素养是数学教育的核心目标之一．

1 数学抽象的含义与特点

1.1 数学抽象的含义

抽象是指从某类事物中舍弃个别的、非本质的属性，抽象出共同的、本质属性的思维过程．抽象的本质是对同类事物的刻画与构造．数学抽象是指舍弃事物的一切非数学属性（如物理属性、化学属性、生物属性、社会属性等），从数量与数量关系、图形与图形关系两方面抽象出数学概念及概念之间的联系，从事物与事物之间的联系、事物内部要素之间的联系中抽象出一般规律和结构，并用数学语言加以表征．数学抽象的对象是蕴藏着数量特征或空间特征的事物．

1.2 数学抽象的特点

吕林海认为，数学抽象从背景上看具有客观性，从产生上看具有能动性，从内容上看具有特殊性，从方法上看具有构造性，从形式上看具有模式化，从过程上看具有发展性[2]．郑毓信认为，数学抽象具有理想化、精确化、模式化的特点[3]．与物理抽象、哲学抽象、艺术抽象等相比，数学抽象具有如下特点．

一是纯粹性．数学抽象只考虑事物或现象的数量关系和空间形式而舍弃其它一切属性．数学抽象的这种高度纯粹性，决定了它的抽象程度远高于其它学科的抽象．

二是理想化．一方面，数学源于现实，“不但数学概念本身，而且它的结论，它的方法都是反映现实世界的”[4]．另一方面，数学又高于现实、超越现实．数学对象是抽象思维的产物，是理想化的产物．数学意义上的点源于生活中各种各样的点，却是没有任何物理属性、没有大小的点．数学意义上的随机事件源于生活中的随机现象，但必须是在绝对相同的条件下可以重复试验．

三是精确性．由抽象得到的数学概念在经过理想化处理后具有绝对精确的特点．例如，圆是平面内到定点距离等于定长的点的轨迹，任何一个点要么在圆上，要么不在圆上，没有丝毫模糊的空间．数学命题研究的是抽象概念之间的关系，其结论需要通过逻辑推理来确认．数学概念的精确性与推理逻辑的严谨性成就了数学结论的精确性和逻辑必然性．需要指出的是，数学的绝对精确性和可靠性是以数学概念的理想化、以数学与现实相分离为前提的；当数学涉及现实时，它就不具有这种绝对精确性和可靠性[5]．

四是模式化．数学抽象的结果是数学模型、数学模式．美国著名数学家、美国数学联合会前主席斯蒂恩（L. A. Steen）曾指出：数学家在数中、在空间中、在科学中、在计算机中以及在想象中寻找模式, 数学理论解释模式间的关系；函数和映射、算子和映射将一类模式与另一类模式联系起来，产生稳定的数学结构．数学应用则是利用这些模式解释和预测相关自然现象[6]．数学问题、数学概念、数学法则、数学命题、数学方法、数学思想等都具有模型、模式的特点．数学模型、数学模式是连接数学世界与现实世界的桥梁．

五是形式化．数学概念是高于现实的纯形式的东西，数学的研究对象是纯形式化的思维材料．“数学的抽象性质预先规定了这个事实，就是数学定理仅仅用从概念本身出发的推理来证明”[4]．符号化、公理化是数学形式化的重要组织部分和表现形式．数学符号和术语的引入为数学理论的表述和数学论证提供了极大的便利．正如亚历山大洛夫所说：“如果没有合适的数字符号就不能将算术推向前进．尤其是如果没有专门的符号和公式简直就不可能有现代数学．”[4]

1.3 数学抽象的类型

根据抽象对象的不同，数学抽象可分为性质抽象、关系抽象、等置抽象等．所谓性质抽象是指关于研究对象某一方向的性质或属性的抽象，如人们从量与量之间的相互依赖关系中抽象出函数的概念．所谓关系抽象是指关于研究对象的数量关系或空间位置关系的抽象，直线与直线平行、平面与平面垂直是关系抽象的结果，数与数之间的大小关系、倒数关系也是关系抽象的结果．等置抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象．自然数概念是等置抽象的结果，其本质是某类等价集合的标记，即集合与之间可以建立一一对应关系，它们是“对等”的．

根据抽象方向的不同，数学抽象可分为弱抽象与强抽象．所谓弱抽象，也叫做“扩张式抽象”，是指对事物某一方面特征（或侧面）加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式．如按“正比例函数→一次函数→初等函数→函数→映射”顺序进行的抽象就是弱抽象．弱抽象的特点是研究对象的外延不断扩大，内涵不断缩小．所谓强抽象，也叫做“强化结构式抽象”，是指通过扩大研究对象的特征，从而形成比原对象更为特殊的概念或理论的一种抽象方式．如按“映射→函数→初等函数→一次函数→正比例函数”顺序进行的抽象就是强抽象．强抽象的特点是研究对象的外延不断缩小，内涵不断扩大．弱抽象与强抽象是人们认识事物的两种基本方式：通过弱抽象，人们可以把结论推广到更一般的情形；通过强抽象，人们可以更深刻地认识事物某一方面的特征．

2 数学抽象的意义与价值

2.1 数学抽象的学科意义与价值

徐利治认为，数学是运用抽象分析法研究事物关系结构的量化模式的科学[7]．希尔伯特认为：“在数学中，像在任何科学研究中那样，有两种倾向．一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的、有条理的处理．另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间的关系的具体意义，也可以说领会它们的生动的形象．”[8]史宁中认为：数学发展所依赖的基本思想有3个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的．通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁[9]．因此数学抽象是数学发展最基本的手段与方式．它贯穿在数学知识的形成、产生、发展与应用的过程中，并使数学成为高度严谨、高度精确、应用广泛、结构性强的学科．

2.2 数学抽象的教育意义与价值

杜威认为：“抽象是教育所要达到的目的；它是对理智问题自身的兴趣，是为思维而思维的一种嗜好．”[10]怀特海认为，数学课程的目标是“学生能够通晓抽象思维，能够认识到它是如何应用于特殊而具体的环境，应该知道怎样在合乎逻辑的调查研究中使用一般的方法”[11]．数学抽象使数学变得简单、简约，富有逻辑与条理，因此它利于学生更好地理解数学知识的层次性与结构性，更好地把握数学知识的本质．由于数学抽象旨在寻找事物共同的、本质的属性，因此它利于学生养成从更一般意义和方法上思考问题的习惯，进而发展概括抽象能力，提升理性思维水平．

王光明等人的研究表明：抽象思维能力对数学学习的效率与效益具有显著的影响；在抽象思维水平上，高效组显著高于普通组与低效组学生，普通组明显高于低效组学生；抽象思维能力、推理分析能力、关系判断能力对学生数学学习效率均有显著影响，其中影响效果最大的是抽象思维能力；提高学生的抽象思维能力有助于提升数学学习效率[12]．这种情况的发生是由于数学抽象思维和抽象能力具有较强迁移的功能，能放大知识与能力的效能，进而帮助学生更好地解决现实和其它学科中的相关问题．由于数学抽象的本质是数学创造，因此它利于学生在更高层次上学会学习数学、学会创造数学．

3 数学抽象的过程与方法

按照抽象的程度不同，史宁中把数学抽象分为简约阶段、符号阶段、普适阶段等3个阶段，其中简约阶段主要是把握事物在数量或图形方面的本质，把繁杂问题简单化、条理化，并清晰地表达；符号阶段主要是去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约化的事物；普适阶段主要是通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律[13]．徐利治认为，数学研究中的抽象思维过程基本上经历4个阶段：第一阶段主要研究数学现象问题；第二阶段主要是对各种具体数学属性进行分析，逐步去掉非本质属性；第三阶段，对于已经了解其结构的数学事实，确定其本质属性或特征；第四阶段，对基本上被确定的数学概念进行不断纯化[14]．以上两位大家站在学科高度对数学抽象的过程和阶段进行了划分，深化了人们对数学抽象的认识．这里站在数学教学视角，按通常情况下学生学习时认知的先后顺序，把数学抽象分为感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等5个阶段．

3.1 感知与识别

理性认识源于感性认识；数学抽象源于数学直观，源于人们的观察与感知．数学的发展、学生的数学学习在很大程度上依赖于直观，并且越是抽象的知识越需要依靠生动的直观和能被直观感知的具体．数学发展史上，抽象的负数、虚无缥缈的虚数都曾依靠其几何直观才被人们所广泛接受．因此数学抽象的前提是对客观事物数量关系或空间形式的观察与感知，或者是对需要进一步抽象的数学对象的观察与感知．通过观察、感知和比较，人们发现、识别不同对象之间的相同点和不同点．而这些相同点和不同点就成为下一步区分、归类、概括的基础；其中不同点使研究对象分为不同的类，相同点成为区分这类对象与其它类对象的特征．

3.2 分类与概括

“抽象”的英文abstract源于拉丁语abstracio，其本意是排除、提取．斯根普（Skemp）认为，抽象与分类紧密相联，抽象首先是识别事物间的相似性，然后通过“分类”（classifying）将具有相似性的事物收集起来，最后为了描述抽象结果，定义一个概念[15]．因此数学抽象是在感知与识别的基础上，从数与形两方面对事物本质属性进行分类与概括．这里的分类包含两层意思：一是提取，即从特定的背景中提取、明晰研究对象．如为了研究摩天轮旋转时它上面椅子位置的变化情况，确定从椅子的横坐标、纵坐标（假设已经以摩天轮的中心为原点建立了直角坐标系）和旋转角度三个维度进行研究．二是分类，即把所有具有共同特征的事物从整体中分离出来．分类与抽象互为前提和条件：分类离不开抽象，抽象也离不开分类；数学抽象需要把具有共同属性的数学对象放在一起作为一类，进而在分类的基础上，从不同的数学对象中概括出共同的本质属性．如，把三角形、函数分别从多边形、映射中提取出来作为独立的一类．

3.3 想象与建构

皮亚杰（Piaget）将抽象分为两个阶段：一是经验性抽象（empirical abstraction）与伪经验性抽象（pseudo-empirical abstraction）阶段，其中前者直接来源于客观对象本身及其性质，后者源于作用于客观对象上的行动；二是反思性抽象（reflective abstraction）阶段，即个体在前两种抽象形成一些想法的基础上，建立它们之间的联系，形成概念与关系．史宁中根据抽象程度的不同，将数学抽象可分为感性抽象和理性抽象．其中感性抽象是指把现实中的一些与数量和图形有关的东西引入数学内部，形成数学概念、法则和模型；理性抽象是指对进行感性抽象得到的思想材料进行再抽象，是从此理性具体到彼理性具体的思维过程[16]．为了纯粹地、精确地从形与数两方面研究现实世界，必须把数学与现实世界进行驳离，在形式与关系两方面进行自由地创造；而这种自由创造，离不开人类思维的想象与建构．通过想象，在纯粹的形式上和理想的状态下建构数学概念和法则是数学抽象的基本方法．没有大小的点，没有粗细的、曲率为0的无限延伸的直线，相同条件下可以重复试验的随机事件等，都是在抽象的基础上通过理想化、形式化的想象建构的．函数概念，从初中定义的“一个变化过程”到高中定义的“两个非空数集”是一种想象与建构；四元数、维空间、极限、导数、非欧几何、无限集的“势”更是数学家自由想象、建构的产物．因此数学概念、数学法则源于常识与经验，但又超越常识与经验．它们是人类想象力、创造力与现实世界完美结合的产物．

3.4 定义与表征

命名是不可或缺的步骤和条件，科学的独特工作就是建立在这种明确限定的行为之上[17]．这里所说的“命名”即数学上的定义．如果数学抽象的产物是数学概念，那么就需要以定义的形式对它的本质特征，或内涵，或外延给出确切而简约的界定与表征．如果数学抽象的产物是数学法则与模型，或者是数学思想方法与数学体系，那么就需要用数学语言进行精确地刻画与表征．也就是说，数学抽象需要在用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界的基础上，用数学语言表征世界，进而为数学交流和用数学工具改造世界奠定基础．

3.5 系统化与结构化

柯朗曾指出：“一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越出直接实用的局限．”[18]弗赖登塔尔曾把数学化分为水平数学化与垂直数学化[19]．其中水平数学化是指由现实问题抽象为数学问题、建立数学模型的过程；垂直数学化是指在水平数学化的基础上，按照数学知识发展的内在逻辑，对数学材料进行组织、整理和拓展，形成某种数学知识体系．一个新的重要的数学概念一旦建立，就必然按照其自身的逻辑发展，通过组织、整理和拓展，建立一个或大或小的知识体系，形成系统化、结构化的知识网络．如人们由力、位移、速度等抽象出向量概念后，就必然要定义向量的各种运算、研究向量之间的关系．在给出向量有关运算法则后，又必然研究它们的运算律，研究如何运用向量知识解决几何、物理等生产和生活中遇到的问题．不仅如此，向量的概念在不断发展，由平面向量到空间向量，再到维向量；向量的运算也在不断发展，由加减运算到数乘、数量积（即内积）运算，再到向量积（即外积）等．因此系统化、结构化既是数学抽象的产物，也是数学抽象的方向与要求．

4 数学抽象教学的策略与方法

4.1 夯实数学抽象的基础

抽象源于具体，理性源于感性．数学抽象的前两步分别是感知与识别、分类与概括，其第一阶段是感性抽象或经验性抽象，第二阶段是理性抽象或反思性抽象．相应地，数学教学应在明确研究对象的基础上，强化学生的观察、直观感知（包括动手操作和思维实验），强化学生对抽象对象相似性的识别，让学生更深入、更充分地感知抽象对象，熟悉它们的形象，感受它们的内涵与本质，夯实抽象的基础．也就是说，从具体事例的相似性识别开始应当是数学抽象教学的一条基本原则；由真实事物出发，给学生的思维插上想象的翅膀，搞清楚新旧抽象概念之间的逻辑相关性，是数学抽象的基本做法[20]．

4.2 指导数学抽象的方法

智慧是掌握知识的方法；真正有用的教育是使学生透彻地理解一些一般原理，这些原理能够运用到各种不同的具体细节中去[11]．数学抽象教学也一样．在把现实问题转化为数学问题、数学模型的过程中，最常用、最具有数学特点的抽象方法有3种．一是数学化．即舍弃事物的一切非数学属性，只从数与形两方面对其进行抽象．如数的产生只关注数量的多少，而省略其它一切因素；几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果[4]．二是理想化．即对现实事物通过一般化、理想化处理，最后得到超越现实的数学模型．如把生活中各种不需要考虑长短、粗细、比较直的线抽象为数学意义上的绝对直的（即曲率为0）、无限延伸的直线．三是符号化．数学世界是一个符号化的世界；数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，是对现实世界数学关系的反映结果[21]．

在解决数学内部问题的过程中，最常用、最具有数学特点的抽象方法也有3种．一是公理化．即寻找各数学分支的出发点与思维原点，从尽可能少的原始概念和公理出发，依据特定的演绎规则，推导出一系列结论，建构数学知识体系．二是结构化．即作为学科的数学不是满足于解决现实生活中的个别问题或某些问题，而是遵循数学知识发展的内在逻辑，建构系统性、结构性强的知识体系．三是形式化，即数学是以形式化的东西为研究对象，得到的是形式化的结论，建构的是形式化的数学体系．

4.3 重视数学抽象的过程

没有一些基础的知识，你不可能变得聪明；轻而易举地获取知识，难以习得智慧；操之过急地传授知识，结果适得其反[11]．数学教学应让学生经历完整的抽象过程、参与完整的抽象活动——感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化．数学教学可以压缩或快速通过其中某些阶段，但不应轻易跳过这些阶段．因为学生的数学抽象素养是在抽象过程中逐步孕育的，并且只有完整的抽象过程、抽象活动才能培养出完整的抽象能力和抽象素养．因此数学教学应再现抽象的过程，强化抽象的过程．如“用字母表示数”教学应体现如下过程：一是文字代数，即用文字和具体的数来表示；二是简字代数，即用简化了的文字（如这个数、那个数）来表示；三是符号代数，即普遍使用抽象的符号．

4.4 加强学生数学抽象实践

抽象经验需要在抽象活动中积累，抽象能力需要在抽象活动中发展，抽象素养需要在抽象经验的积淀与升华中养成．学生接受教材和教师抽象出来的数学知识，未必懂得这些知识与原始的、具体材料的联系，未必理解和掌握其中的抽象思路与方法，而这恰恰是学生最有用、最需要的东西．因此数学教学应让学生经历层次清晰的抽象过程，参与抽象、尝试抽象，进而在抽象中学习抽象、学会抽象．具体地，应加强学生如下4方面的数学抽象实践：一是从具体的数学情境（包括数学的与现实的两方面）中抽象出数学概念和法则；二是从数学概念与概念之间、事实与事实之间抽象出数学关系和定理；三是从数学问题解决的过程中抽象出数学思想方法和思维方法；四是对所学知识及时归纳、梳理、抽象，形成良好的数学认知结构．应加强抽象过程中学生思维的交流与碰撞，加强学生的自我感悟，因为“最正确经验的积累不是基于理解而是基于感悟”[22]．

4.5 加强对数学抽象素养的评价

喻平认为，数学知识学习表现为3种形态：知识理解、知识迁移、知识创新，并且这3种形态生成不同水平的数学核心素养[23]．即将正式出版的《普通高中数学课程标准》（修订版）将数学抽象划分为三级水平．其中关于提出数学问题的三级水平分别是：水平一——能在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，并能解释其含义；水平二——能在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，并能用恰当的例子解释；水平三——能在综合的情境中抽象出数学问题，并能用恰当的数学语言予以表达．

评价是指挥棒，是“牛鼻子”．应从如下两方面入手，加强对数学核心素养的评价．一是在中考、高考和期末考试中加大对数学抽象素养考查的力度；二是在平时课堂教学和作业中加强对学生数学抽象方法、抽象能力的过程性、形成性与诊断性评价．

数学抽象的实质是数学发现和数学创造．教好数学抽象、学好数学抽象并不是一件容易的事情，唯有在实践中上下求索、不断优化和改进．

[1] 史宁中，孔凡哲．关于数学的定义的一个注[J]．数学教育学报，2006，15（4）：37-38．

[2] 吕林海．数学抽象的思辨[J]．数学教育学报，2001，10（4）：59-62．

[3] 郑毓信．数学抽象的基本准则：模式建构形式化原则[J]．数学通报，1990，（11）：9-11．

[4] A·D·亚历山大洛夫．数学——它的内容，方法和意义（第一卷）[M]．孙小礼，赵孟养，裘光明等译．北京：科学出版社，2001．

[5] 爱因斯坦．爱因斯坦文集（增补本）第一卷[M]．许良英，李宝恒，赵中立等编译．北京：商务印书馆，2009．

[6] Steen L A. The Science of Patterns [J]., 1988, (240): 611-616.

[7] 徐利治．徐利治谈数学哲学[M]．大连：大连理工大学出版社，2008．

[8] D·希尔伯特，S·康福森．直观几何[M]．王联芳译．北京：高等教育出版社，1959．

[9] 史宁中．漫谈数学的基本思想[J]．数学教育学报，2011，20（4）：8．

[10] 约翰·杜威．我们怎样思维·经验与教育[M]．姜文闵译．北京：人民教育出版社，2005．

[11] 怀特海．教育的目的[M]．庄莲平，王立中译．上海：文汇出版社，2012．

[12] 王光明，张晓敏，王兆云．高中生高效率数学学习的智力特征研究[J]．教育科学研究，2016，（3）：48-55．

[13] 史宁中．数学基本思想18讲[M]．北京：北京师范大学出版社，2016．

[14] 徐利治，王前．数学与思维[M]．大连：大连理工大学出版社，2008．

[15]  Skemp R R.[M]. London: Penguin Books, 1986.

[16] 史宁中．数学思想概论第5辑——自然界中的数学模型[M]．长春：东北师范大学出版社，2015．

[17] 恩斯特·卡西尔．人文科学的逻辑[M]．沉晖，海平，叶舟译．北京：中国人民大学出版社，2004．

[18]  R·柯朗，H·罗宾．什么是数学[M]．左平，张饴慈译．上海：复旦大学出版社，2012．

[19] 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M]．陈昌平，唐瑞芬译．上海：上海教育出版社，1995．

[20] 郑正亚．数学抽象概念教学随笔[J]．数学教育学报，1999，8（1）：75-78．

[21] 徐利治，王前．数学与思维[M]．大连：大连理工大学出版社，2008．

[22] 史宁中．数学思想概论第4辑——数量与数量关系的抽象[M]．长春：东北师范大学出版社，2015．

[23] 喻平．数学核心素养评价的一个框架[J]．数学教育学报，2017，26（2）：19-23．

Mathematic Abstraction and Its Instruction

LI Chang-guan

(TeachingResearch Section of Taizhou Education Bureau, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Mathematic abstraction was the fundamental mindset for mathematics. It featured purity, precision, idealization, modularity, and formalization, etc. There were five steps for mathematic abstraction, that was, perception and identification, classification and generalization, imagination and construction, definition and manifestation, systemization and structuring. To better foster students’ mathematic abstraction capability, the mathematics instruction should enhance the foundation, specify the method, emphasize the process, improve students’ practice of the abstraction, and strengthen the evaluation of abstraction capability.

abstraction; mathematic abstraction; instruction of mathematic abstraction

[责任编校：周学智]

G420

A

1004–9894（2017）04–0061–04

2017–05–21

教育部课程教材研究所“十二五”规划重点课题——“解析几何”内容修订研究（KC2014—018）；浙江省教研课题——高中数学研究型教学（10455）

李昌官（1964—），男，浙江临海人，正高级教师，博士，教育部国培专家，主要从事中学数学课程与教学研究．