情境视角下的数学核心素养

常 磊，鲍建生



情境视角下的数学核心素养

常 磊，鲍建生

（华东师范大学数学系，上海 200241）

核心素养是国际社会高度关注的教育热点，也是中国新一轮课程深化改革的主要方向．一些国际教育研究机构和中国著名学者都认为核心素养与情境关联密切．数学核心素养作为核心素养的重要构成成分，其与情境的关系相比核心素养兼具共性和特殊性．分析阐释六大数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析与情境之间的深刻关系，探索在情境中培养和评价数学核心素养的过程与方法，以情境的视角为数学核心素养的后继深入研究提供参考．

数学核心素养；情境；关系；培养；评价

1 研究背景

核心素养是当前国际教育研究的热点，也是中国新一轮课程深化改革的主要方向．最早研究素养的世界权威机构经济合作与发展组织（OECD）认为素养是运用知识、技能和态度满足特定情境中复杂需要的能力，核心素养必须满足的3个要件之一是帮助个体在多样化情境中能够满足重要的需求，并且在变化的情境中各个核心素养是联结在一起发挥作用的[1]，国际学生评价项目（PISA）对于素养的评价也主要是依据学生在不同现实情境下解决实际问题的表现[2]．欧盟提出的核心素养框架“为了终身学习的核心素养”对素养的界定是适用于特定情境的知识、技能和态度的综合[3]，其中的“情境”主要指个人情境、社会情境和职业情境．研究核心素养最著名的国家美国研制的“21世纪学习框架”提出的“21世纪素养”同样是与情境关联的，相应的“21世纪主题”要求建立学科知识和真实生活情境的联系[4]．国外有研究者认为，21世纪的知识的情境性日益增强，素养的形成和发展与情境存在密不可分的关系[5]，一个具备素养的人置身于特定情境的时候，有满足情境之需要的“恰当性、充分性或态度”[6]．中国的研究者在研究世界各国及相关国际组织关于核心素养的定义的基础上，明确界定核心素养是个体在知识经济、信息化时代面对复杂的、不确定性的现实生活情境时，运用所学的知识、观念、思想、方法，解决真实的问题所表现出来的关键能力与必备品格[7]，这里牵涉到个体不仅应“知晓什么”，而且在现实的问题情境中“能做什么”的问题[8]．素养形成之后，又能突破具体情境的限制，迁移至不同情境之中，且适应情境的不断变化．因此，促进素养发展的知识学习需要与多样化的情境相联系，核心素养的培养需要让学生置身真实问题情境，亲历复杂的问题解决过程[9]．

2 数学核心素养与情境

核心素养与复杂情境密切相关，不局限于特定的目标任务，也没有学科界限，核心素养与学科核心素养的关系也很复杂，不是简单的上下位的关系，亦非整体与部分的关系那样简单[10]．放眼全球，各个国家和地区现有学校课程基本上都是以学科课程为主，因此，核心素养的培养仍然需要以培养学科核心素养为基础，然后才能实现多学科核心素养的融会整合，形成个体的综合核心素养．数学学科是各个国家和地区基础教育学校课程中的重要学科，数学核心素养是未来合格公民所应具备的最基本、最重要的学科素养，也理应成为综合核心素养的重要构成成分．国内有学者提出，基于数学核心素养的数学教学，要在数学教学活动中，创设合适的教学情境，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养[11]；国外亦有研究者认为，数学核心素养不能通过短期的直接教授获得，而应该借助特定情境潜移默化地习得[12]．鉴于核心素养与情境之间的密切关系，以及国内外专家学者关于情境在培养数学核心素养过程中重要性的判断，深刻认识各个数学核心素养与情境之间的关系，探索在情境中培养和评价数学核心素养的过程与方法，对于深入理解数学核心素养和有效培养学生的数学核心素养、有效评价学生的数学核心素养具有重要的理论指导意义．

3 六大数学核心素养与情境

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质．针对数学学科核心素养的培养，近期中国普通高中数学课程标准修订过程中提出了六大数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析[13]，它们是数学课程深化改革的主要方向，集中体现了高中数学课程的总体目标，以下分别详细阐释六大数学核心素养与情境之间的关系．

3.1 数学抽象与情境

徐利治先生指出，凡数学中确立的各种基本概念、定义、公理、定理、模型、推理法则、证明方法等都可称为“数学抽象物”[14]，由此可以认为数学抽象是得到“数学抽象物”的过程．按照数学抽象与情境之间的关系，可以将数学抽象分为两大类，现实情境数学抽象和纯数学情境数学抽象．现实情境数学抽象是指舍去具体情境中事物或现象的一切质性属性，抽取出量的关系或空间形式方面的本质属性的过程；纯数学情境数学抽象是指在纯数学情境中已有数学抽象物的基础上进一步抽取出量的关系或空间形式方面的本质属性的过程．现实情境数学抽象是数学抽象里的基础过程，一般只有一次抽象过程，而纯数学情境数学抽象是数学抽象的高级过程，可以存在多次层叠过程．举例来说，数字运算法则可以认为是一种现实情境数学抽象，代数运算法则可以认为是纯数学情境数学抽象，而抽象代数运算法则可以认为是在代数运算法则基础上的纯数学情境数学抽象．现实情境数学抽象的对象是现实世界，离不开具体的情境以及情境中的直观事物或现象，否则就成了无源之水，无本之木，而经过现实情境数学抽象后得到的“数学抽象物”也需要在具体的情境中寻找支持的依据或验证其合理性．纯数学情境数学抽象过程虽然可以脱离具体的情境以及情境中的现实事物或现象，但却依然依赖于现实情境数学抽象后得到的“数学抽象物”或者抽象度较低的“数学抽象物”所构成的纯数学情境，在此基础上进一步数学抽象得到抽象度更高的“数学抽象物”，并且需要在纯数学情境中寻找支持的依据或验证其合理性．譬如，得出数学概念的过程是最典型的数学抽象过程，某些数学概念的获得来源于现实情境数学抽象，是直接对应现实世界中的直观情境而存在，例如自然数、简单方程、点、直线、三角形、二面角、向量等概念，而另一些数学概念也可以通过纯数学情境数学抽象（借助符号与类比[15]、逻辑建构[16]等方法）得到，依附于抽象的纯数学情境而存在，例如复数、微分、群、环、域等概念．

现代数学的抽象化程度越来越高，不仅难以直接找出其客观现实背景，甚至有些高新数学知识在相当长的时间内还难以发现其在现实情境中的应用价值．但随着时代的快速发展，数学在现实世界中的应用范围确实越来越广，除了大量被应用于自然科学外，在相当多的社会科学中也日益发挥出重要作用（在社会科学研究中日益广泛被使用的量化研究工具就是很好的例证）．因此，数学并不会因其不断增加的数学抽象性而与现实世界脱离关系，而是恰恰相反，高度抽象的数学与复杂现实情境将会更加紧密地联系在一起．

有研究表明，学生在学习“抽象的”数学知识时，通常需要降低抽象层次的思维过程，例如将新的概念与已有的知识建立关联，或者建立具体过程来重现抽象的结论[17]．该研究结论也印证了在通常的数学教学中，教师会将具体情境中的事物、现象或者抽象层次较低的数学知识与需要学习的更加抽象的数学知识联系在一起，或者还原数学知识的数学抽象过程，达到帮助学生理解所学数学知识的目的．但是要真正掌握所学数学知识，需要通过使用数学符号或简化图形，剥离情境中的非本质属性，凸显本质属性，逐步进行“去情境化”，最终脱离较低层次的情境的支持发展为独立的数学知识，让学生感悟数学抽象过程，体会具体和抽象之间的相对差异，积累从具体到抽象的数学活动经验，形成数学抽象素养．

3.2 逻辑推理与情境

逻辑推理素养是描述思维品质中深刻性的重要指标之一[18]，逻辑推理能够揭示出隐藏在情境中的事物或现象背后的本质规律，并预见事物或现象的发展进程．数学活动中的逻辑推理指依据一些事实和命题，按照数学逻辑规则得到新命题的思维过程[19]．该定义中的“事实”当然属于客观世界情境中的真实存在，“命题”是判断一件事情真假的语句，它离不开具体情境中的事物、现象或者纯数学情境中的概念和过程．因此，逻辑推理可以认为是建立在情境基础上的抽象思维过程，其主要关注数学内部的发展，但离不开现实情境中客观规律和纯数学情境中数学规律的支撑．

数学中的逻辑推理素养需要个体能够在现实情境和数学情境中，用归纳或类比的方法发现数量关系或空间形式方面的性质和规律，提出有价值的数学问题和命题；能够在具体的情境中，理解推理的形式和规则，准确使用逻辑用语表述逻辑推理过程；能够运用逻辑推理正确表述思想、解决科学研究情境和社会生活情境中的实际问题．

数学课程改革发展到今天，逻辑推理已经成为一种重要的数学学习和数学理解的方式，而不仅仅是数学学习的目标和活动．因此，在幼儿园和小学阶段可以以具体情境中的事物为载体开展非形式化的推理活动，目的是让学生认同逻辑推理这种思维模式；初中阶段可以逐渐建立起简单数学概念基础上的逻辑推理，但仍然需要借助具体情境中的事物或现象，高中阶段可以逐步渗透基于数学概念的形式化逻辑推理思维模式[20]，在纯数学情境中培养逻辑推理素养．

3.3 数学建模与情境

数学建模是用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界中具有数学规律性的事物[21]，是应用数学知识解决现实世界问题的主要方法．数学建模需要个体能够从数学的视角发现和提出现实世界中的问题，对现实情境中的问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法分析问题，构建数学模型得出初步的解决方案，在现实问题情境中验证结果并改进数学模型，最终解决现实问题．数学建模兼顾数学和现实世界情境两个维度，重点关注数学在现实世界情境中的应用价值，而其应用价值亦是推动数学自身发展的动力之一．从自然科学到社会科学，从专业研究到日常生活，数学建模都依赖于学科情境和生活情境，并在解决许多现实问题中体现出数学不可替代的工具性价值．为了促进高校人才培养对于数学建模的关注，以及发展大学生的数学建模能力，国际上很多国家和地区都有举办大学生数学建模竞赛，比如，美国数学及其应用联合会主办的美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），是国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛，每年吸引全球各个国家和地区的众多高校学生参与此项赛事角逐；中国的全国大学生数学建模竞赛，是中国国内高校规模最大的基础性学科竞赛，每年也都会吸引大批大学生踊跃参赛．

数学建模素养是一项综合性很强的数学素养，其中很重要的原因来自客观现实世界的复杂性．数学本身是用来描述客观世界中数量关系和空间形式方面普遍规律的，但在现实世界中，这些普遍规律往往会受到现实世界中除了数量关系和空间形式以外的其它因素的制约，而且在不同的情境下，这些制约因素的数量多少和复杂程度也是不同的．因此，数学建模的整个过程都必须充分细致地考虑情境中各种复杂的制约因素，并与数学知识与方法完美结合，还需要在现实世界情境中检验模型的正确性和可靠性，改进和完善数学模型以适应情境的真实需要．

培养学生的数学建模素养，首先应树立学生运用数学的语言和方法，描述和解决现实情境中实际问题的意识．中小学阶段，学生掌握的数学知识和数学认知能力有限，无法解决复杂现实情境中的真实问题，教师可以向学生提供一些经过简化的、学生熟悉的现实情境，剔除其中复杂的现实因素，解决一些理想化了的现实问题．从引导学生在实际情境中发现和提出数学问题开始，然后运用简单的数学知识和方法，针对理想化了的数学问题，选择适当的简单方程或函数等建立简单的数学模型．在此过程中让学生理解数学建模的意义和作用，运用数学语言表达数学建模的过程和结果．这样做的目的不在于真正解决现实问题，而在于让学生多次经历完整的数学建模过程，积累利用数学建模解决现实问题的经验，实现能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题．随着学生数学知识的增加和数学认知能力的增长，教师可以逐步放宽情境中的各种现实条件，逐渐增加情境中的复杂现实因素，直至提供给学生完全真实的现实情境，让学生构建适合完全真实现实情境需要的方程或函数模型，多次体验和经历真实的数学建模活动，积累完整真实的数学建模经验，形成数学建模素养．

3.4 数学运算与情境

数学运算是指依据运算法则，对数、量或式子等运算对象进行代换或变换[22]，解决数学问题的过程．因此，不同于一般理解的数学计算，数学运算不仅包括了数字的简单计算，还包括各种数学式子及方程的变形，以及极限、微积分、逻辑代数的运算等[23]．在很多自然科学和社会科学中，数学运算的使用越来越广泛而深入，学习和研究这些学科需要具备优秀的数学运算素养．在日常生活和工作以及各类数学建模活动中，良好的数学运算素养也是必不可少的．

从情境的角度看，数学运算本身主要发生在纯数学情境中，属于可以脱离现实情境中的具体事物而存在的一种数学抽象思维活动．但是数学运算作为一种解决科学研究和社会生活中很多实际问题的重要方法，又离不开客观世界现实情境的依托和限制．譬如，妇孺皆知的哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，为了解决这个纯粹的数学问题而用到的数学运算完全发生在数学情境中，不必考虑任何现实世界中的客观因素，但是如果使用数学运算是为了解决一个科学研究或社会生活中的问题，例如通过数学运算求解某一型号的洲际弹道导弹的运行速度和可能的拦截时间，或者预测2030年中国的总人口数量，就必须考虑现实世界情境中的各种复杂因素．

在数学教育中，数学运算历来是课程和教学的重点内容，但随着电子计算器的普遍使用和计算机技术的广泛应用，作为数学核心素养的数学运算不再仅仅关注计算能力和计算技巧，不再简单追求做算术题的正确率和速度，而是关注建立运算的思路，算法的设计以及依据算法解决数学实际问题的过程[24]．具体情境中的数学运算不是简单的要求学生算得对，算得快，往往需要学生在情境中理解运算对象、探究运算方向，根据情境的实际需要选择运算方法、设计运算程序，求得运算结果之后根据情境的限制条件检验修正等，最终实现有效借助运算方法解决实际问题，在此过程中表现出个体的数学运算素养．

基本的数学运算素养需要学生在数学情境中明晰和理解运算对象，提出运算问题，建立运算关系；根据数学情境分析运算条件、确定运算方向，选择运算法则和方法，设计运算程序；知晓运算法则和方法在数学情境中的意义和作用，能够利用运算结果验证数学情境中的数学结论，解释和说明具体的数学问题．良好的数学素养则需要学生能够在科学、社会和生活等现实情境中，发现或者将现实问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向；根据现实情境的需要设计和构建合适的算法和运算程序，养成严谨的程序化的思想理解、表达和解释问题的思维习惯．

3.5 直观想象与情境

直观是借助经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识[25]，而不需要经过充分逻辑推理．几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力[26]．著名数学家和数学教育家M·克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上．”[27]国内学者史宁中也认为，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的，数学学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观[28]，例如数学史上曾经出现的许多著名的数学猜想，数学家们在没有经过严格的推理论证之前，便可以预测到某些数学结果．

数学中的想象一般是指空间想象，其含义是对于客观事物的空间形式（形状、结构、度量及其位置关系）经过数学抽象后在个体头脑中的再现与重构．空间想象包括对空间观念的理解和对二维、三维空间几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等[29]．

数学中的直观想象属于理性思维，需要借助数学抽象，得到情境中数量关系和空间结构的本质属性．直观是在可视化情境中产生的，直接判断的依据是个体的数学经验，一般得到的是静态的数学对象；想象则可以脱离可视化情境，完全在个体头脑中产生一个虚拟情境，这个虚拟的情境中可以存在静态的数学对象，也可以存在动态的数学对象变化过程，但想象的依据仍然是个体的数学经验．

按照直观想象与情境之间的关系，可以将直观想象分为两大类：现实情境的直观想象和纯数学情境的直观想象．现实情境的直观想象需要借助与数学对象有关联的现实世界情境中的事物或现象，例如把一条绵延不绝的笔直公路直观成一条直线，把晴朗夜空中划过的流星直观成一条射线，想象地球绕太阳公转的轨道是一个近似半径为1.5亿公里的圆，想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去．当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹是阿基米德螺线．纯数学情境的直观想象需要借助与数学对象有关联的纯数学情境中的符号或图形，例如计算从1连加到100的和，可以直观出1+100=101，2+99=101，以此类推，直到50+51=101，从而可以把原问题看成是求50组101的和；为了解决著名的哥尼斯堡七桥问题，数学家欧拉把哥尼斯堡某一公园中的七座桥直观成线，把桥两端的陆地直观成点，把“是否可能从这4块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到出发点”经过数学抽象后，想象成一笔画的几何问题．

培养直观想象素养需要在大量具体的现实情境和抽象的纯数学情境中，提供具体实物、抽象化的实物模型、代数模型样例、几何模型图或者利用信息技术演示模拟的实物图片、三维立体模拟模型、几何模型图和变化过程模拟动画等，并且让学生认真仔细的观察和较为深入长久的思考，经过学生头脑中对这些实物表象和模拟实物表象的抽象和概括、记忆和联想、对比和加工，学习画出正确、标准的直观想象平面图，用文字或语言准确描述直观想象图或动态过程，逐渐积累丰富的直观想象方面的数学经验，在现实情境和纯数学情境下反复实践和训练，最终转化为学生的数学直观想象素养．

3.6 数据分析与情境

当今社会已经步入大数据时代，数据也已经渗透到当今各个行业和业务职能领域．人们在科学研究和社会生活中会经常用到统计知识，其中的核心工作是数据分析，其不等同于简单的数字运算和图表制作．数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据[30]．有价值的数据不是凭空想象和恣意捏造出来的，从情境的角度看，数据的主要来源是客观现实世界，任何数据不仅仅是包含数量、文字、符号、图形等抽象信息，必然还包含了与现实情境有关的背景信息，这些背景信息中的人或事物就够成了数据的情境．数据分析首先应该根据现实情境中实际问题的需求收集和整理数据，识别有价值的数据，理解数据蕴含的数学信息，建立必要的分析模型，借助必要的数据分析软件，运用统计方法对数据中的信息进行分析和推断，得出结论后在具体情境中解释结论的意义和价值．

数据分析素养的教学应该为学生提供现实情境中的典型案例，感悟数据分析．应该让低年级的学生认识到数据蕴含丰富信息，现实生活中的许多问题应当通过收集数据并且分析数据后才能得出有效结论，以此建立数据分析意识；中年级的学生应该知晓数据分析方法的多样性，并且需要根据情境选择合适的方法；体验数据收集出现的随机性，以及发现规律的或然性．对于高年级的学生可以在现实情境中经历较为系统的数据分析过程，通过数据分析解决简单实际问题，树立依据数据表达现实问题的意识，培养恰当选择和正确使用数据分析思路、方法处理数据的能力，以及利用数据思考、解释、解决现实问题的习惯，积累数据分析的经验，形成数据分析素养．

4 数学核心素养的评价

核心素养作为个体在大量情境中训练和积累起来的必备品格与关键能力，属于个体内在的、具身的、整体的心理特征，表现为看待事物和处理问题时的稳定的意识、习惯和模式．从这个意义上来看，核心素养的评价更类似于心理测评．因此，常规的教育评价模式难以准确、全面、深刻地评价核心素养．当前，以表现性评价（Performance Assessment）为代表的第四代教育评价模式在核心素养的评价领域受到很多青睐．表现性评价可以界定为：从质性的角度，以能够产生思维必然性的某种情境的学习者的行为与作品（表现）为线索，对概念理解的深度与知识技能的综合运用进行的评价[31]．从该定义可以看出，表现性评价高度依赖个体在情境中的表现．虽然表现性评价在评价核心素养方面仍然存在局限，但与普通的标准化纸笔测验相比，以个体在情境中的表现评价核心素养无疑是巨大的进步，应该是未来核心素养评价发展的主要方向．

有别于自然科学和社会科学，数学学科作为一门特殊的形式科学，数学核心素养的评价必定也具有其特殊性．当前大致可以把数学学科分为纯理论类数学和应用类数学两大类．很多情况下，纯理论数学的学习和研究只需要纸、笔、计算器和数学类计算机软件即可实现，不需要依托现实情境中的人、事物、环境、仪器和设备等；应用类数学的学习和研究则需要依托外在情境中的人、事物、环境、仪器和设备等．数学奥林匹克竞赛中的获奖选手和研究纯理论类数学的数学家必定拥有优秀的数学核心素养，善于发现和解决现实世界生活中的数学问题的普通人、研究应用类数学的数学家、自然科学研究中能够利用数学知识创造发明新的科学理论和科学技术的研究者、社会科学研究中善于利用数学知识处理分析数据和用数学的方法解决社会问题的研究者也必定拥有良好的数学核心素养．这些事实可以启发我们思考和探索数学核心素养的评价．

鉴于当前在核心素养评价中备受青睐的表现性评价对于情境的高度依赖，以及数学核心素养与情境的密切关系，在数学核心素养的评价中，情境的设计和构建显得尤为重要，直接影响着数学核心素养的有效评价．从情境的角度研究数学核心素养的评价，可以分别从现实世界情境和纯数学情境两个方面评价，对于基础教育而言，亦可以评价学生在现实世界情境和纯数学情境中的整体数学核心素养．情境的设计和构建在评价核心数学素养时应兼顾侧重性和综合性，除了针对不同的单个数学核心素养设计相应的情境，还可以设计核构建综合情境考察学生的多个数学核心素养．情境以及情境中问题的复杂程度构成了数学核心素养水平划分的基础，直接制约着数学核心素养水平的准确评价，一般而言，简单的数学情境和现实生活情境可以用于评价普通水平的数学核心素养，复杂的数学情境和科学情境、社会情境可以用于评价较高水平的数学核心素养．此外，情境的话题、成分、结构、表征形式、信息容量、开放程度、可容纳的思维活动空间等都会对数学核心素养的评价产生密切影响，可以作为今后数学核心素养评价的研究内容之一．

5 结束语

数学核心素养属于个体内在的思维品质和能力，只有当个体处理具体情境中的具体事物或问题时，才能将个体内在的数学核心素养转化为外在的行为表现，被他人所察觉和感知．数学核心素养是学生在具有情境的数学活动中切实感悟、综合理解、反复强化逐渐形成的，主要来源是数学活动经验的积累．教师的教学设计需要着重思考具体教学情境与具体数学核心素养培养之间的相关性．数学核心素养的有效评价应以个体在具体情境中的表现为依据，科学设计和合理构造用于评价数学核心素养的任务情境的是提高评价信度和效度的重要保证．

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[责任编校：周学智]

Key Competency of Mathematics from the Perspective of Context

CHANG Lei, BAO Jian-sheng

(The Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Key competency had become the international highly concerned educational hot issue, and also became the main focus of a new round of curriculum deepen reform in China nowadays. Some international education research institutions and famous education scholars in China agree that key competency and context had a substantial connection. Key competency of mathematics as an important composition of key competency, had both generality and particularity compared with the relationship between key competency and context. Analysis and elucidate the deepen relationship between context and six key competencies of mathematics, including mathematical abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, mathematical operation, intuitive imagination and data analysis, explore the close link between context and key competency of mathematics in development and evaluation, provided some references for the subsequent research of key competency of mathematics from the perspective of context.

key competency of mathematics; context; relevance; develop; evaluate

G40-03

A

1004–9894（2017）02–0024–05

2016–09–22

2014年国家建设高水平大学公派研究生项目——国家留学基金委资助华东师范大学数学系与澳大利亚墨尔本大学墨尔本教育研究学院联合培养博士生（留金发[2014]3026号）；2016年上海市立德树人人文社科重点研究基地项目——立德树人人文社科基地建设（B8），子课题——数学教师的实践知能和教师专业发展者的现状调查

常磊（1986—），男，河南安阳人，博士生，主要从事数学教学情境、数学课堂教学和数学教师的实践知能研究．