用智能手机加速度传感器分析弹簧振动现象

赵荣俊 刘应开

·现代教学技术·

用智能手机加速度传感器分析弹簧振动现象

赵荣俊 刘应开

（云南师范大学物理与电子信息学院，云南昆明 650000）

将智能手机作为振子随着弹簧一起在竖直方向上运动，利用基于安卓系统的智能手机加速度传感器Accelogger软件记录振动过程中三维空间的加速度并作出图像．通过分析加速度随时间的变化曲线，再结合弹簧做简谐运动的相关理论求出在单个弹簧和多个弹簧串联两种情况下的振动周期、劲度系数和重力加速度，与传统实验方法进行比较．

智能手机；加速度传感器；劲度系数；重力加速度

随着科学技术的不断发展与社会的进步，智能手机、平板电脑等电子产品广泛进入人们的日常生活．这些拥有高科技附加值的电子产品拥有高精度的力传感器、音频传感器、光学传感器、GPS定位系统等，大大提高了手机的通讯质量和水平．同时也为我们利用这些高精度的传感器研究物理学中的力学、电学、声学、原子物理等学科中的物理问题提供了新技术和新方法，如何利用智能手机中的特殊功能的传感器研究基本的物理问题也成为新时期物理学教学研究的课题．［1－6］由于这些传感器具有高的灵敏度和精确度，与传统的物理实验方法比较，能够更加准确地测量有关的物理量，为开展物理教学研究、准确再现物理现象、揭示物理规律提供了新的方法、途径．本文利用基于安卓系统的智能手机加速度传感器Accelogger软件对弹簧振子在振动过程中每一时刻的三维空间的加速度进行测量，并记录数据，根据数据画出各方向的加速度与时间的关系曲线．［7］结合弹簧做简谐运动的理论分析实验结果，求出所用弹簧的劲度系数、弹簧振动周期，从而求出当地的重力加速度．与传统方法测得的重力加速度比较表明：智能手机加速度传感器能完整呈现弹簧做简谐运动的基本规律及物理图像，且结果更加准确．这为利用智能手机开展物理教学研究提供有益尝试，可为研究声学、磁学等不容易被学生直觉感知的物理问题、物理现象提供借鉴，准确、形象生动地再现物理规律．

1 加速度传感器原理

智能手机加速度传感器测量和记录了任意时刻三维空间x，y，z三个方向独立的加速度．在三维空间中，无论手机如何放置，x轴和y在同一个平面内，y轴指向是手机底部到顶端的方向，而且这个方向为手机的正方向．x轴则从左至右的走向，该方向亦是正方向；z轴走向则是面向使用者的方向．如果在某一方向上位移大小没有发生变化，则在该方向上的加速度不变．在实验过程中可以通过改变加速度传感器的参数设置来获取所需要的信息．

2 利用智能手机加速度传感器研究单个弹簧振子的简谐运动

2．1 实验装置

取一根长度为70mm的弹簧，其上端用一段细线固定于支架上，下端与智能手机连接，因此形成一个竖直方向上的弹簧振子．从平衡位置开始让手机由静止开始下落，并启动加速度传感器，当手机随着弹簧一起振动时，加速度传感器记录下弹簧振子的加速度大小并以曲线的形式将变化显示出来．［8］由于弹簧振幅较小并且空气阻力可以忽略，因此弹簧的振动为简谐运动．

2．2 实验原理

在弹簧的振动过程中，一个具有一定质量的智能手机可以用作一个振子置于弹簧一端，跟随着弹簧一起运动，此时手机的加速度传感器会自动记录下弹簧在振动过程中各个时刻三维空间的加速度大小．对数据进行分析处理，作出各方向上加速度变化曲线．在弹簧振动方向上加速度变化曲线近似为正弦曲线，从图像中可读出弹簧振子的振动周期，并根据简谐运动理论进行弹簧劲度系数和当地重力加速度的计算，并与传统方法测量结果相比较．

2．3 测量弹簧劲度系数

2．3．1 用加速度传感器测量弹簧的劲度系数

一个弹簧和振子组成的系统，其振动周期［］为

在式（1）中，m为振子的质量，M为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数．实验中所选取的M m，因此，将弹簧的质量M忽略不计．所以，在不考虑弹簧质量的情况下，弹簧振动周期［9］为

根据加速度传感器所记录的各个时刻的加速度数值，作出竖直方向加速度随时间变化关系为正弦曲线．在简谐运动中，振动在一个运动周期内加速度两次达到最大值，因此，从图像中可求出在一段时间t内完成完整振动的次数为n，则弹簧振子振动的周期为

将式（3）代入式（2）并两边平方，则可得弹簧的劲度系数k为

2．3．2 实验步骤

（1）用天平称量出智能手机的质量m．

（2）打开手机中的加速度传感器并对其进行相关参数设置．

（3）将弹簧固定，并把智能手机置于弹簧一端，放于平衡位置．

（4）静止释放弹簧振子，使其在竖直方向上自由振动．

（5）同步按下加速度传感器“开始”按钮，并记录数据．

（6）将记录的数据导入到电脑中进行数据处理并作出加速度随时间变化曲线．

2．3．3 胡克定律静态测量弹簧劲度系数

根据胡克定律［10］F＝－kx和平衡条件

式中x为弹簧的伸长量，因此，利用胡克定律测量静态情况下的弹簧劲度系数

在静止的状态下通过增加砝码改变Δm，则弹簧会被拉伸，用米尺测量出竖直方向上弹簧的伸长量Δx，将相应的数值代入（6）式，作出相应的图像，可知弹簧的伸长量与质量的改变量成线性相关，图像的斜率即为静态情况下的弹簧劲度系数k．实验装置如图1所示．

2．4 弹簧劲度系数的计算

2．4．1 加速度传感器计算k值

在弹簧振子的振动过程中，手机加速度传感器记录了在任意时刻三维空间的加速度数值．如图2所示为弹簧在竖直方向上振动过程中x，z两个方向的加速度变化情况．

图1 实验装置

图2 弹簧振动过程中x，z方向的加速度变化

图中实线为z方向，虚线为x方向的加速度变化曲线．当手机处于静止状态时加速度理论值为0，在某方向上运动发生改变时，则会产生相应的加速度．在该实验中，智能手机随着弹簧在竖直方向上作简谐运动，由于受到手机重力作用，弹簧受力较大，因此竖直方向的加速度随着时间变化较大．严格意义上讲手机不是质点，是刚体，除了在竖直方向振动外，在x，z两个方向上会发生些微转动，且在x方向比z方向明显，因而x、z方向加速度也会有变化，只不过没有y方向明显．

通过对所采集的实验数据进行处理，得到了竖直方向上的加速度随时间的变化曲线，如图3所示．

图3 竖直方向加速度变化图

由图可知，在弹簧振子的运动过程中，竖直方向上弹簧的加速度随时间的变化为正弦关系，在一个完整的运动周期中加速度达到两次最大值．由图可见，在Δt＝13s的时间间隔内，弹簧完成了24个完整的振动，据式（3）得弹簧的振动周期为0．54（s）．结合（4）式，振子的质量m＝0．27864kg，可求出弹簧的劲度系数为k＝37．72N／m．

不确定度分析：由于在使用智能手机加速度传感器测量弹簧劲度系数的实验中，实验误差主要来自振子质量的测量，根据直接测量的物理量的不确定度分析，存在两类不确定度：A类不确定度和B类不确定度．［9］据此可得m的A，B类不确定度分别为0．17g和质量不确定度μm＝．所以，弹簧劲度系数的不确定度［8］为因此，利用智能手机加速度传感器测量弹簧的劲度系数时，劲度系数的值为k＝（37．72±0．02）N／m．

2．4．2 胡克定律计算k值

通过改变Δm使得弹簧的伸长量发生变化Δx，弹簧原长为x0，实验测量数据列表1．取昆明当地重力加速度g＝9．784N／kg，根据胡克定律可得到力与伸长量的关系曲线如图4所示．由图可知，直线的斜率即为弹簧的劲度系数k＝37．79N／m．

表1 胡克定律测量劲度系数

___续表

图4 胡克定律计算k值

2．4．3 两种方法的对比

利用胡克定律测量弹簧的劲度系数是教学与科学研究中常用的一种静态测量法，运用这种方法可以很方便地求出所需要的物理量，但是不能求出弹簧运动过程中加速度变化情况，且过程繁琐．然而，使用手机加速度传感器研究竖直方向上弹簧的振动并测量相应的劲度系数，是一种动态的测量方法．经过多次实验，测出弹簧劲度系数为k＝（37．72±0．02）N／m，与静态情况下所得k＝37．79N／m比较接近．同时，加速度传感器可以记录各时刻的加速度大小并且能通过图像直观地展示加速度在运动过程中的变化图像．因此，利用智能手机加速度传感器研究弹簧振动现象物理图像清楚，运动情况直观，且具有较高的精确度，对于中学物理教学非常实用．

3 重力加速度g的测量

3．1 加速度传感器计算重力加速度

根据智能手机加速度传感器所测得的弹簧劲度系数k，根据平衡条件并结合式（5）可得伸长量x与所加质量m的关系表达式为

即伸长量x与质量m为线性相关．

令α＝g／k，根据（7）式线性关系求出α值，从而根据α＝g／k，代入加速度传感器测得的k值，即可求出重力加速度g．

图5 弹簧伸长量与质量的关系

由直线方程可知α＝0．2573，而加速度传感器所测得的劲度系数为k＝（37．72±0．02）N／m，且α＝g／k，因此由加速度传感器所测得的重力加速度为g＝α×k＝9．721m／s2．已知昆明当地的重力加速度为g＝9．784m／s2．其相对误差为E＝

3．2 单摆测量重力加速度

单摆实验中，单摆周期［9］为，两边平方并化简可得周期的平方与摆长成线性关系，令斜率β＝4π2／g，根据斜率即可求出重力加速度，相关数据列入表2．

表2 单摆测量重力加速度

根据实验数据，拟合周期T的平方与摆长l的关系如图6所示，由图可见β＝4．1047，从而求得g＝9．628m／s2．加速度的相对误差为

图6 拟合单摆周期的平方与摆长的关系曲线

3．3 结论

通过两种方法测量重力加速度并加以比较．结果表明：使用智能手机加速度传感器测量得到的加速度值大小与昆明当地的重力加速度g＝9．784m／s2较为接近，且相对误差较小．而用单摆法测得昆明的重力加速度为g＝9．628m／s2，误差较大．因此，在分析弹簧振动及常见的物理现象中使用加速度传感器作为研究工具比较精确且方便．与传统方法相比较，智能手机加速度传感器具有精度高的特点，测量的加速度更准确．

4 弹簧串联时的劲度系数k1

上述研究中，使用智能手机加速度传感器分析了单个弹簧的简谐运动，并且在动态的情况下测量弹簧的劲度系数值，与静态情况下所得结果较为吻合．同时，分析x，z方向上加速度变化情况．对于两个及以上的弹簧串联或并联的情况，利用智能手机加速度传感器方法同样可以测量它们的劲度系数．

将两个完全相同的弹簧首尾相连接在一起，组成一个串联弹簧组．其上端固定在支架上，下端悬挂手机，从平衡位置开始静止释放在竖直方向上振动，加速度传感器记录下任意时刻的加速度大小，对数据进行分析并作图7．

可见，当串联弹簧在竖直方向的加速度随时间的变化接近于一个正弦曲线．在Δt＝14s时间间隔内，两个串联弹簧完成了18个完整振动，在不考虑弹簧自身质量的情况下，根据式（4）可以求得两个串联弹簧的劲度系数为18．18N／m．而每个弹簧的劲度系数为k＝37．79N／m，这样的两个弹簧串联其劲度系数的理论值为k／2，即为18．89N／m．相对误差为3．7%，二者符合较好．

图7 串联时竖直方向加速度变化

综上所述，在利用智能手机加速度传感器测量多个串联弹簧的劲度系数接近理论值．因此，智能手机的加速度传感器不仅可以研究单个弹簧的振动，而且可以研究多个弹簧的组合振动问题及其串并联弹簧的劲度系数，对于研究弹簧问题具有普适性．

5 结论与总结

智能手机加速度传感器作为一种新的工具研究弹簧的简谐运动，不仅使实验结果更加精确，而且物理图像清晰，运动情况直观．同时还能获得传统方法不能获得的信息，如x，z方向的运动情况，能对弹簧的振动有一个完整的认识．同时，利用智能手机加速度传感器还可以研究多个弹簧的组合问题，并把这一方法推广，利用智能手机的其他功能的传感器研究声学问题、磁学问题、原子物理问题等，这将对自制教具的现代化将起到推动作用，促进物理教学方式、实验方式的多样化和定量化．

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7 加速度传感器＿互动百科．http：／／www．baidu．com．／link？Url＝S－Alj．2016－02－14．

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2016－07－04）