用相对运动方法解两道竞赛试题

马广明 浦仕毕

·竞赛园地·

用相对运动方法解两道竞赛试题

马广明 浦仕毕

（北京市第十二中学，北京 100071）

相对运动观点是分析运动问题的一种重要思想方法，尤其是在分析处理运动学中的两个物体同时发生运动的相关问题时十分必要且有效．本文对物理竞赛试题中的两道运动问题用相对运动方法进行实例分析，以凸显此种方法的精妙．

相对运动；相对速度；矢量关系

第33届全国中学生物理竞赛预赛试题，有两道涉及同一平面上两物体的直线运动内容．这两个问题，若运用相对运动观点处理，解法简单、直观．

题1．从楼顶边缘以大小为v0的初速度竖直上抛一小球；经过t0时间后在楼顶边缘从静止开始释放另一小球．若要求两小球同时落地，忽略空气阻力，则v0的取值范围和抛出点的高度

解析：两个小球都在竖直方向上发生运动时，在其中一个球上观察另一个球，其做匀速直线运动．

图1

设球1某时刻开始做竖直上抛运动，球2经过时间t0开始做自由落体运动．要求两小球同时落地，就是在t0时刻，在球2上观察球1，看到球在其上方距离球2一定距离h处，并向下以一定速度向球2运动．如图1所示．

t0时刻球2的速度为0，球1此时的速度v1＝v0－gt0就是球1相对球2做匀速运动的速度．两个要求：①v1方向竖直向下；②v1的大小小于v0．否则球1回到了抛出点或以下，先于球2落地．由此得出＜v0＜gt0．

满足上述速度要求的条件下，t0时刻球1位于球2上方，且以速度v1匀速向球2运动，经历时间t＝H／v1球1追上球2，两球相遇．则抛出点距地面的高度也就是对应时间内球2自由落体运动下落的高度为

此题选项（C）正确．

题2．一足球运动员1自A点向球门的B点踢球，已知A、B之间的距离为s，球自A向B的运动可视为水平地面上的匀速直线运动，速率为u，另一足球运动员2到AB连线的距离为l，到A、B两点的距离相等．运动员1踢出球后，运动员2以匀速v沿直线去拦截该球．设运动员2开始出发去拦截球的时刻与球被运动员1踢出的时刻相同．

（1）如果运动员2能拦截到球，求运动员2开始出发去拦截球直至拦截到球的时间间隔，球被拦截时球到A点的距离、球到运动员2出发点的距离和运动员2运动的方向与A、B连线的夹角．

（2）为了使运动员2能拦截到球，求u、v、s和l应当满足的条件．

参考解答给出的解法是：记运动员1踢出球的时刻为零时刻．设运动员2沿着与A、B连线夹角为θ的方向运动，球在时刻t被运动员2拦截．令球被拦截时球到A点和运动员2到出发点的距离分别为s1和s2，则

由几何关系有

从（3）、（4）消去θ，并利用（1）、（2）式得

此即

这是关于t的一元二次方程，解为

由（1）、（2）、（7）式得

由（4）、（9）式得

（2）方程（6）有实数解的条件是

依题意有t＞0的条件要求，则

（7）～（10）式则为

运动员2只能在一处拦截到球．

本文给出运用相对运动观点的分析如下．

由题设，开始时，球与运动员2的位置之间几何关系如图2所示：图中AB与AC间夹角为α，其中AC间的距离为运动员2与1相遇，就是在运动员2看来，球于距离为的A处向自己匀速运动过来．其速度矢量图如图3所示，满足：

图2

图3

从分解的角度来认识相应关系．

（1）在垂直AC线方向上，两运动员的分速度相等，则

（2）在平行于AC线方向上，ucosα，vcosβ构成了两者的相对运动速度，但存在图3中标注的（2）和（1）两种情况．

① 计算．相遇时间间隔，球运动的路程，运动员2运动的路程分别为

② 拦截条件的分析．

若矢量三角形存在，v有最小值vmin，图3所示．则v≥usinα，代入sinα值，所求条件为

需要特别说明的是，参考答案给出的解法中关于u的数值关系的（14）式，即，是不全面、不准确的，其正确关系表示应如上式所示．

由上比较可见，用相对运动方法分析层次分明，物理意义明显，对问题理解有特殊功效，不可忽视．

2016－09－16）