微积分学的初等化问题分析

西北工业大学附属中学(710072) 李子研 ●

微积分学的初等化问题分析

西北工业大学附属中学(710072) 李子研 ●

微积分作为高中数学中的组成内容，如何从新的视角对其初等化进行研究，是值得我们要探索的一个重要课题．本文基于函数和导数，利用不等式来对微积分基本定理进行验证．

微积分;初等化;导函数;新视角

微积分在数学发展史上有着非常久远的历史，从正式作为数学学科分支之一开始到现在，其诞生了许多定理与公式．近几年，有关微积分的初等化研究逐渐吸引人们注意，利用数学中的初等内容对微积分进行研究成为一个崭新的研究点．

一、定积分的初等定义及微积分初等化研究的新视角

(1)定积分的初等定义

关于定积分的定义，跳出极限概念范畴，从数学初等内容对定积分定义进行理解，相较起来，初等定义要比极限定义更加简单明了，这也是微积分初等化研究所具有价值的一个体现．对定积分进行初等化定义，假设f(x)在某一区间上有定义，若有一个二元函数，它同时满足非负性与可加性条件，则可以称该二元函数f(x)是在这一区间上的一个积分系统．若积分系统唯一，则任意子区间端点值所对应的二元函数解，即为f(x)在这一子区间上的定积分，通常记作在上面的定义中，完全没有用到极限的概念，定义表述简单易懂，对于高中学生来说，要相对容易掌握，这样对于微积分知识的学习也变得相对容易些．

(2)微积分初等化研究的新视角

从几何意义上对数学中的定积分进行理解不难发现，一个定义在［a，b］上的函数f(x)在某一区间［m，n］上的积分，其实就是该函数与x轴和直线x=m、x=n之间围起来所得到的区域面积．根据这一特性分析，假设将［a，x］所围曲边梯形面积记为F(x)，并将其折合成同等大小的矩形，那么矩形的高就在该区间内某两点p、q所对应函数值之间，进而有不等式()f q．该不等式的成立为微积分初等化的研究提供了全新的视角，使人们可以尝试通过不等式来对微积分相关问题进行研究，降低微积分学习难度．

二、微积分的初等化研究方法

(1)分析不同意义下的导数基本性质

在高等数学中，导数分为一致可导，加强可导等类型，不同类型下的导数所表现出的基本性质不尽相同，而导数具备怎样的基础性质，直接关系着微积分初等化的研究效率、研究成果与研究方向．所以我们在对大学高数微积分进行初等化研究时，首先应分析不同意义(即一致可导和加强可导)下的导数基本性质．

对一致可导函数，通过命题假设和借助相关定义、定理分析其基本性质，得到一致可导函数的导数具有唯一性;所得到的导数若符号不变，则表明原函数单调;若导数为强可导，则也一致可导;两个原函数的导数相等则两者之间仅相差一个常数;一致可导函数的导数具有一致连续性和第一单调性．对加强可导函数分析其导数基本性质得到，其导数具有唯一性，第一单调性;导数符号不变则原函数单调，导数相等的原函数之间仅差一常数．

(2)微积分基本定理推导验证

微积分基本定理是我们学习微积分所必须掌握的一个重要定理，掌握该定理是我们解决微积分相关问题的必要条件之一．根据上文分析所了解到的导数基本性质，从初等角度对微积分基本定理进行推导验证，一方面降低微积分基本定理的理解与学习难度，一方面帮助我们对其较为容易的理解和掌握，并为微积分的初等化研究提供资料与参考．假设A是区间［a，b］上包含常数函数的一些函数的集合，其内的每个函数f与该区间内的两个数m、n构成集合J={f，m，n}．若J到实数集R的映射S(f，m，n)满足一定条件(多个条件之间并不相互独立，可能由其中几个条件推导出另外的条件)，则可称实数S是函数f在［m，n］上的定积分，几何意义就是围成的曲边梯形面积．JF={S，H，J}则为该区间上的一个积分空间．假设JF ={S，H，J}，是区间［a，b］上的一个积分空间，函数f在该积分空间内，则f为强连续函数，并有F(x)=S(f，a，x)=经证明，F为一致可导函数，且其导数与f相等成立．

利用上述两定义，对微积分基本定理进行推导和验证．设JF={S，H，J}是区间［a，b］上的一个积分空间，强连续函数f在这一积分空间内，在这一条件下，若区间内有一可导函数F，其导数与强连续函数f相等，则有F(b)这是通常的、习惯的定积分写法．用本文所描述定义的形式对这一式子进行表示就是F(b)－F(a)=S(f，a，b)，该式即为微积分基本定理．根据上面假设，对微积分基本定理进行证明．假设P(x)=S(f，a，x)，由上得P的导数等于f，而P与F之间相差一个常数，所以上面假设所得出的微积分基本定理是成立的．在这一推导证明过程中，并没有用到极限概念，只运用了导数基本性质与强连续函数的定义，不仅推导过程得到了一定简化，而且结果可以得到较好的验证．由此可见，微积分的初等化具有巨大研究价值．

［1］郑晨．大学一年级学生利用微积分解决实际问题能力的调查研究［D］．东北师范大学，2010．

［2］宋华．夏鸾翔对微积分的学习与使用——《万象一原》内容分析［D］．内蒙古师范大学，2013．

［3］张景中．微积分学的初等化［J］．华中师范大学学报(自然科学版)，2006，04:475－484+487．

［4］焦彬桥．高中微积分课程内容选择的探索［D］．广西师范大学，2014．

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