带有耦合时滞的不连续非恒等节点复值复杂网络通过反馈控制达到有限时间同步

张 兰

(重庆师范大学数学科学学院，重庆401331)

带有耦合时滞的不连续非恒等节点复值复杂网络通过反馈控制达到有限时间同步

张 兰

(重庆师范大学数学科学学院，重庆401331)

研究了带有耦合时滞的不连续非恒等节点复值复杂网络通过反馈控制控制达到有限同步的问题，其中半牵制反馈控制被设计，基于Filippov解理论和李雅普诺夫函数法等，提出了保证复值复杂动力网络的有限时间同步的一些充分条件，结果是基于先前结果的促进和改善.最后，通过数值模拟证明了结果的有效性.

复值复杂动力系统；有限时间同步；半牵制反馈控制；不连续激活函数；非恒等节点

在过去的二十年里，复杂动力网络的研究在现代社会中各个领域发挥的作用越来越重要，可以发现在安全通信、生物系统、信息处理等各个领域都得到广泛应用，因此引起了广大学者的关注.而其中复杂网络的同步问题各个学者研究的重要现象之一[1－2]，它的意思是指两个或两个以上随时间变化的量在变化过程中保持一定的相对关系，同步又包括完全同步[1－3]、有限时间同步、拟同步、广义同步等.现在许多研究人员对复杂网络的同步进行了大量的研究，但是现在大部分文章研究的问题只能当时间趋于无穷才能实现同步，而在本文中通过一些适当的控制器可以实现在设定时间内达到同步，并且本文将系统推广到激活函数是右端不连续的状态，同时因为环境的影响和信道的有限性本文在系统中考虑了时滞，使得系统更加接近现实生活.

为使得系统达到同步，现在人们研究了各种控制方法，常见的控制方法包括间歇控制、反馈控制、自适应控制[4]、脉冲控制[5－9]等等，但是各种控制都是有利也有弊.在本文设计的半牵制反馈控制中，不仅可以减少工作量从而降低成本，而且可以使系统在有限时间同步.并且因为在控制器中用代替了符号函数更是减少了控制的抖振性.基于以上原因本文设计了半牵制反馈控制[9].

通过以上的讨论，本文考虑了带有耦合时滞的不连续非恒等节点复值复杂网络通过半牵制反馈控制达到有限时间同步，通过一些特别的分析技巧，提出了保证复值复杂动力网络的有限时间同步的一些充分条件，本文的结果是前文的推广和衍生.

1 基本定义与预备知识

考虑以下带耦合时滞的不连续非恒等节点复杂动力网络[10]:

其中N为系统的节点数，xi(t)＝(xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t))T∈Cn是第i个节点的状态变量，其中激活函数fi(x(t))＝(f1(x(t))，f2(x(t))，…，fn(x(t)))T∈Cn为不连续非线性的激活函数表示在传输过程中产生的时滞表示已知的常数矩阵，Γ∈Rn×n的耦合矩阵，A＝(aij)N×N为时滞耦合矩阵，并且满足耦合条件:如果节点i与j有联系(i≠j)，那么aij≠0；否则aij＝0；其中当i＝j时，aii＝

系统(2)的初值为:

以下为系统(1)的同步状态方程:

其中:B＝(bjr)n×n∈Rn×n是常数矩阵，g(x(t))＝(g1(s(t))，g2(s(t))，…，gn(s(t)))T∈Cn.

它的初始条件可以描述为:

定义1[7]如果在系统(1)添加适当的控制器，使得存在一个常数t1>0(t1>0是依赖初值x(0)＝ (x1(0)，x2(0)，…，xN(0))T而存在的，使得2，…，N，就称系统(1)有限时间同步到系统(2)上.

因为本文研究的是不连续的复杂动力网络，导致一般意义下的微分方程的解是不存在的，所以本文将引进Filippov解对不连续微分方程进行研究.那么本文首先给出Filippov解的定义.

定义2[7]f(x)的集值函数被定义为如下:

定义3[7]函数x(t):[－τ，t1)→Cn，为不连续系统(2)在[－τ，t1)上的Filippov解，如果满足下面条件: x(t)在[－τ，t1)上是连续函数，在[0，t1)上式绝对函数.

根据文献[4]，如果满足这些基本条件，系统(1)存在Filippov解.

为了得到本文的结果，给出下面的假设条件:

假设1 存在正常数dlj，bl，l，j＝1，2，…，n，使得f，h满足以下不等式:

假设2 因为系统(1)和系统(2)均为混沌系统，所以存在正常数使得

设e(t)＝x(t)－s(t).系统(2)与系统(1)作差可以得到误差系统如下:

为了研究方便，将复值复杂系统拆成实数部分与虚数部分，分别为:

将两个系统合并成一个2N维系统，如下:

2 主要结果

在本文中设计了如下的反馈控制:

在本节中将给出本文的主要结果，将提出几个使得系统(1)和系统(2)达到有限时间同步的充分条件，并对其进行严谨的逻辑证明.

定理1 在假设条件1、2满足的前提下，在控制(3)下，如果满足下面条件:

其中那么，系统(1)能有限时间同步到系统(2)，并且可以估计有限时间为:

证明 定义如下的Lyapunov函数:V＝V1＋V2

那么有:

其中:vk(t)＝(vk1(t)，vk2(t)…，vkn(t))T，当zkj(t)>0时，vkj(t)＝1，当zkj(t)<0时，vkj(t)＝－1，当zkj(t)＝0时，vkj(t)在区间[－1，1]上取值.

对上式分别放大，其中第一部分放大为:

根据假设1，可以得到第二部分的放大:

根据假设2，同可以得到第三部的结果:

同理得到第四部分为:

第五部分放大为:

综合上面的式子:

根据定理给的条件可以得到下面的不等式:

根据上面的不等式说明了V(t)是正定并且不增的函数，因此存在非负常数V∗使得:

对上式左右进行0到t积分，则有:

综合以上分析得:一定存在t1∈(0，＋∞)使得:

[1] X YANG，Z YANG.Synchronization of TS fuzzy complex dynamical networks with time－varying impulsive delays and stochastic effects[J].Fuzzy Set and Systems，2014，235:25－43.

[2] YANG X，CAO J.Stochastic synchronization of coupled neural networks with intermittent control[J].Phys Lett A，2009，373(36):3259－3272.

[3] YANG X，CAO J，LU J.Synchronization of Markovian coupled neural neural networks with nonidentical node－delaysand random coupling strengths [J].IEEE Trans Neural Netw learn Syst，2012，23(1):60－71.

[4] YANG X，CAO J.Synchronization of discontinuous neural networks with delays via adaptive control[J].Discrete Dyn Nat Soc，2013，2013:1－9.Art. ID:147164.

[5] GUAN Z，LIU Z，FENG G，et al.Synchronization of complex dynamical networks with time－varying delays via impulsive distributed control[J].IEEE Trans Circ Syst，2010，57(18):2182－2195.

[6] YANG X，YANG Z.Exponential Synchronization of discontinuous chaotic systems via delayed impulsive control and its application to secure communication[J].Commun nonlinear sci numer simulat，2014，19:1529－1543.

[7] YANG X，WU Z，CAO J.Finite－time synchronization of complex networkswith nonidentical discontinuous nodes[M].Springer ScienceBusiness Media Dordrecht，2013.

[8] 张兰.带耦合时滞的复杂网络通过时滞脉冲牵制控制达到同步[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2016，34(3):276－281.

[9] 程杰，张兰.一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2015，33(2):133－135.

[10] 苏日娜.时滞耦合半导体激光模型的稳定性分析[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2016，34(3):269－275.

责任编辑:高 山

Finite Time Synchronization of Complex Networks with Discontinuous and Non Identical Complex Networks with Coupling Delays

ZHANG Lan
(School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

With coupling delays for non identical nodes complex valued complex networks through a feedback control to the synchronization problem，half of them contain feedback control is designed，Filippov solution theory and Lyapunov function method，based on the proposed guarantee complex valued some sufficient conditions for finite time synchronization of complex dynamical networks is presented in this thesis. The results of this paper are based on the promotion and improvement of previous results.Finally，the validity of the results is proved by numerical simulation.

complex valued complex dynamical systems；finite time synchronization；semi control feedback control；discontinuous activation function；non identical node

O189.1

A

1008－8423(2017)01－0037－04

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.009

2016－09－09.

国家自然科学基金项目(61263020).

张兰(1993－)，女，硕士生，主要从事应用数学的研究.