初中数学教学中“类比思想”的实践与研究
——《一元一次不等式的解法》
2017-04-12郑婷
郑 婷
(江苏省苏州工业园区金鸡湖学校，江苏 苏州 215143)
初中数学教学中“类比思想”的实践与研究
——《一元一次不等式的解法》
郑 婷
(江苏省苏州工业园区金鸡湖学校，江苏 苏州 215143)
数学思想方法一直是数学学习的根基，是学生学习数学的本质精华所在.在平时的教学中，结合观察、比较、归纳、联想,不断渗透类比的思想方法，不仅可以激发学习的热情和主动性，更可拓展学生的思维，为学生的终生发展奠定良好的基础.
类比；数学思维；观察；比较；归纳
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比在数学教学中占有十分重要的位置，也体现了学生解决数学问题的能力和创造性的思维方式.数学家欧拉曾说过“类比就是大胆的创造”，这正是说明类比思维是创造性思维的重要方面，更说明培养学生的类比思维是发展学生的创造性思维的基石.数学探究性活动中，学生灵活运用类比思想方法，必然促使学习效果事半功倍.笔者结合苏科版《一元一次不等式的解法》谈谈自己如何在课堂中通过观察、比较、归纳、联想四步渗透类比的思想方法.
一、观察启动类比思维是探究性学习的起点
教学设计：探究一元一次不等式的定义
问题1 观察下列方程x+2=48、2x=x-3、3x+70=100 ，这是我们学过的一元一次方程，请回忆一下，一元一次方程的定义是什么？
生：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1次，像这样的方程叫做一元一次方程.
问题2 如果我把这三个方程全部改成不等式，x+2≤48、2x
生：①只含有一个未知数，②未知数的次数都是1
问题3 你能仿照一元一次方程的定义说说一元一次不等式的定义吗？
师生总结：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0,像这样的不等式叫做一元一次不等式.
一元一次方程和一元一次不等式从形式上来看，只有等号和不等号的区别，放在一起类比转化学习，是很有必要的.从教学过程来看，通过复习学生已经掌握的知识，通过类比思维顺理成章过渡到本节课的新知识，笔者在设计问题串的时候要注意指向明确，不设置思维障碍，逐步引起学生的探究性思维，激发探究兴趣.正是通过问题串引导学生观察，从而开启了学生的类比转化思维.观察不仅简化和优化了问题的解答过程，而且让学生感受到类比思维的真正内涵.
笔者在进行概念式教学时一直坚持训练学生的观察意识和观察能力. 数学学习活动中的观察不能狭义地认为只是直观地看，需要眼脑并用，而且观察的对象也并非都是直观的.笔者深知观察能力对于数学学习中各方面能力的培养都具有直接或间接的促进作用.基于观察，我们才可以做到识别图形、把握数据之间的关联、发掘基本规律和提高数学化能力.总而言之观察启动类比转化思维是探究性学习的起点.
二、比较感受类比思维是探究性学习的重点
教学设计：探究一元一次不等式的解法
问题1 如何求一元一次方程3x+70=100的解？
生：3x=30，x=10.
师：解一元一次方程的一般步骤有哪些？
生：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
问题2：如何求一元一次不等式3x+70>100的解集？
生小组交流.
生：我们组觉得可以和解一元一次方程一样.
师：对于不等式而言，你们觉得“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”同样适用，对吗？下面我们一起来验证一下.
师：在前一节课的基础上，我们可以用不等式的性质将不等式变形，谁来说说看.
(生边说师边板书)
生：两边同时减去70为3x+70-70>100-70.
师：这个过程能否直接简化为3x>100-70.
生很快反应：这是移项,然后可以合并同类项为3x>30.
生：两边同时除以3，不等号方向不改变为x>10.
生：这是系数化为1.
师：很好，你们已经说出了解一元一次不等式的几个基本步骤.
师：通过观察比较一元一次方程的解法，你们得出了本节课的第二个知识点如何解一元一次不等式.那来练一练手吧：14-2x>6.(生独立完成)
师投影一份学生过程：14-2x>6，-2x>6-14，-2x>-8，x>4.你有不一样的想法吗？
生：最后一步，我觉得不对，应该为x<4.
生讨论哪个答案正确.
生：-2x>-8，两边同时除以-2，不等号的方向要改变，应为x<4.
师：步骤中一元一次不等式与方程唯一的不一样在于系数化为1，不等号的方向是否变号，这也是不等式求解中最容易出错的地方.
这个教学过程中体现两次比较过程，第一次比较体现在比较一元一次方程和不等式，从而由解一元一次方程的步骤类比到解一元一次不等式的一般步骤，符合学生的认知规律，整个思维过程也是非常顺畅，这样的探究活动对学生而言是充实的，也是印象深刻的.在实际上课过程中，笔者一直坚持以学生为学习的主体，无论学生得出什么样的结论，都会让大家互相交流一下是否需要纠错，笔者希望通过生生互动找到学习中每个人的自我存在价值，最后老师引领提升和学生一起归纳总结.第二次比较体现在一元一次不等式的最后一步“系数化为1”是否和方程一样，如果老师直接告诉学生要注意不等号的方向是否改变，学生根本无法体会到这是本节课的一个重难点.笔者选择引导学生纠错，当思维的火花不断碰撞时，这样的思辨过程充满了乐趣.
三、归纳形成类比思维是探究性学习的核心
教学设计：运用一元一次不等式的解法
(课件展示)(1)10-4(x-3)≥2(x-1)；
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
生独立完成.
生(投影自己的过程)：观察题目发现有括号，那么应该首先去括号，方法和方程中的去括号一样，所以基本步骤为去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
师：如果不等式中出现分母呢？
生：那就去分母，还是类比一元一次方程的解法.
师：点到关键点上了，已经会用类比的方法来研究不等式了，下节课我们再来重点探究.
整堂课在不断渗透类比的数学思想方法，结合观察和比较的策略，引导学生内化为自己的数学探究能力，也归纳得出了解一元一次不等式的完整步骤.整个过程以学生说为主，一直呈现学生的主体地位. 除了学习中不断训练学生观察对比的能力，归纳形成类比思维的能力更是笔者关注的探究性学习的核心.当学生想不到正确的思路时，笔者建议根据题中的“特殊情况”的结果猜测“一般情况”的可能性，逐步得到突破口的启发.这样的探究思维正是体现了由特殊到一般的类比归纳思维.
四、联想升华类比思维是探究性学习的高潮
解学设计：一元一次不等式解法的拓展提升
1.求不等式3x-11<0的正整数解.
2.如果不等式ax>a的解集是x<1，那么a应满足的条件是什么？
3.已知关于x的方程4x+3a=3x-(2a-3)的解是负数，求a的取值范围.
生：第1题先移项、系数化为1，解出它的解集，再在解集范围内求出正整数解.
师：思路完全正确，那么你在观察题目时，哪些关键词需要划出来？
生：“正整数解”.所以只有先有解集，才会有正整数解.
师：题1可以归纳为求一元一次不等式的特殊解.
生：不等式中为“>”，但是“解集是x<1”，这一步系数化为1，两边同时除以a，只有a为负数，不等号的方向才会改变.
师：观察到位，对比明确，分析透彻，结论正确，大家要像他学习先观察题目，联想相关知识点，再辨析思路.
生：因为“解是负数”，所以先求方程的解，再根据解是负数列不等式，求不等式的解集.
师：题3中“解是负数”将方程和不等式相结合， 但是只要你们掌握了解决方法还是难不倒你们.
最后的拓展提升环节让本节课达到一个高潮，学生的积极性都被调动起来了，大家跃跃欲试开动脑筋.这三题都是精选出来的典型题目，学生观察题设、对比思路、归纳结论，正是不断重复这样的思维过程，类比的思想方法不断渗透到探究过程中，渐渐内化为学生的数学化能力.
总而言之，新旧知识上串下联中掌握了类比这一思想方法有利于帮助学生不断构建知识体系，从而促使学生一步又一步解决相关的数学问题，不断体现自我价值、享受成功的喜悦.教师在初中数学教学中根据教学目标和学情应该坚持不断渗透类比的数学思想方法，因材施教，做到让学习真正在发生.长久以往，学生的思维创造力和逻辑分析能力也会不断增强，更有益于今后的数学学习.
[1] 盛保和. 浅议初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力[J]. 教育教学论坛, 2013(06): 23-25.
[2] 吴传发. 按照中学生数学思维的发展规律进行数学思维训练的探索[J]. 课程.教材.教法, 2000(11): 13-15.
[责任编辑：李克柏]
2017-05-01
郑婷(1985.1- ),女 ,江苏如东，一级教师，本科，从事初中数学教学.
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1008-0333(2017)17-0040-02
