浅析“求导法”在高中数学应用题中的应用
2017-04-12湖南省长沙市雅礼中学410000
湖南省长沙市雅礼中学(410000)
钟柏舟●
浅析“求导法”在高中数学应用题中的应用
湖南省长沙市雅礼中学(410000)
钟柏舟●
导数是高中数学中的重要概念，通过求导等方法可以对函数的一系列性质例如单调性，极值等进行分析.在高中数学的考试过程中导数问题是一类重要的问题，灵活地运用求导法对问题进行求解对同学们数学成绩的提高有很大帮助.本文对导数的概念和导数在应用题中的应用进行了探讨，并对考试中常见的几种求导方法进行了对比研究.
导数；求导法；高中数学
导数是高中数学中的一个重要部分，在考试过程中导数问题十分常见，掌握导数问题的解题技巧对同学们学习成绩的提高有很大帮助.与此同时求导法解题也是同学们在学习过程中常见的难点，因此本文对求导法在数学题上的应用进行分析和阐述.
一、导数的概念
导数是微积分数学中的一个重要概念，可以表示函数的斜率等重要性质.对于一个可导函数来说，f(x)在x0点处的导数f′(x0)表示f(x)的曲线在x0点处切线的斜率.对导数的数学定义为：设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x产生了Δx的增量时，f(x)相应产生Δy的增量.若Δy与Δx的比值Δy/Δx在Δx→0时存在，则称f(x)在x0处可导，记此极限为函数f(x)在x0处的导函数f′(x0).若某一函数f(x)在整个区间U内都可导，在这一区间内f′(x)就形成了一个新的函数，称该函数为f(x)在区间U内的导函数.
导数是函数的重要性质，函数f(x)在x0处的导数描述了该函数在x0处的变化率.若函数f(x)为实函数，则导数f′(x0)代表曲线f(x)在x0处的切线的斜率.可导函数一定是连续的，但反过来连续函数却不一定可导.导数许多科学问题的分析解决中都有重要的应用，例如在物理学中用速度对时间的导数来定义加速度这一概念.
二、求导法在函数单调性判断上的应用
在考试过程中我们经常会遇到判断函数单调性或求解函数单调区间的问题.对这一类问题在传统上我们需要根据函数的特性，画出函数的示意图形.这一过程相对比较复杂，而且准确性较差，尤其对于复杂函数来说解题难度非常大.但是如果将求导法引入，这类问题的求解将会迎刃而解.根据导数与函数的关系，对于可导函数来说若在某一区间上导函数f′(x)大于0，则函数f(x)在该区间内单调递增；若导函数f′(x)小于0,则函数f(x)在这一区间内单调减小.因而在函数单调性问题的判断上如果我们能够找到函数的导函数，根据导函数的正负性特征就可以得到问题的答案.
例题 已知函数f(x)=2ax3-2x-5在R上为减函数，求a的取值范围.
解 函数f(x)的导函数f′(x)=6ax2-2.因函数f(x)在R上为减函数，则函数f′(x)=6ax2-2在R上小于0.此时6ax2-2<0，可以解得a≤0.
根据函数的单调性质还可以对函数的极值问题进行求解.一个函数的导函数有f′(x0)=0,x
例题 求函数f(x)=x3-6a2x+9(a>0)在R上的极值点.
解 对函数进行求导得，f′(x)=3x2-12a2.f′(x)=0时有x1=-2a,x2=2a.因在(-2a,2a)区间上f(x)<0,在(-∞，-2a)和(2a,+∞)的区间上f(x)>0,可知x1=-2a和x2=2a分别为f(x)的极大值点和极小值点.
三、求导法在隐函数解题中的应用
隐函数是指没有明确表示成y=f(x)的函数，y与x之间的关系用f(x,y)=0来进行表示.例如函数y=3x+7就是显函数，而函数3x2+y3+7=0就是一个隐函数.隐函数的求解是高中数学中的一大难点，需要我们灵活运用求导等手段进行解决.对隐函数的求导方法包括直接求导法、对数求导法，在解题过程中要根据题目的类型选择合适的求导方法.下面对这些方法进行详细的介绍.
对抛物线、椭圆等复杂隐函数方程的切线问题的求解是一种常见的题型，在解题过程中可以利用求导法进行解决.
例题 已知椭圆曲线ax2+by2=1(a,b>0),求该椭圆上点P(x0,y0)处的切线斜率.
解 对椭圆方程进行直接求导得，2ax+2byy′=0，即有y′=-ax/by.将P点坐标(x0,y0)代入得P点处切线的斜率为k=y0′=-ax0/by0.
对一些复杂的函数来说，直接进行求导困难较大，可以通过将这类函数转换成隐函数，通过对数求导的方式进行求解.
例题 求y=xsinx(x>0)的导函数.
对例题进行分析，该函数的形式比较特殊，直接求导没有可用的公式定理作为参考.因为x>0，函数两侧恒大于0.可以对函数两侧同时取对数，然后再进行求导运算.
解 由于x>0,观察函数可知y>0.对函数两侧同时取对数，有lny=lnsinx+lnx.对这一函数进行求导得，y′/y=cosx/sinx+1/x，化简可得y′=xsinx(cosx/sinx+1/x)=xcosx+sinx.
综上所述，通过这些应用实例可以看到导数在数学应用题的解析中用途广泛，通过求导法的运用可以明显降低解题难度，提高解题效率.本文对隐函数的求导方法也进行了简单的介绍，尤其是提出可以用对数求导等特殊的求导方式对导函数进行求解.
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[3]关春英.浅析导数在高中数学教学中的应用探索[J].读写算:教育教学研究，2010(11)
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