Matlab PDE工具箱在电动力学教学中的辅助应用

刘思平

(湖北文理学院,湖北 襄阳 441053)

Matlab PDE工具箱在电动力学教学中的辅助应用

刘思平

(湖北文理学院,湖北 襄阳 441053)

电动力学是高校物理专业及相关专业的一门重要的理论基础课，教学内容中涉及了大量偏微分方程，求解过程复杂，难以理解，阻碍了学生的学习兴趣。Matlab中偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)是一个求解各类偏微分方程很好的平台，可以直观地显示物理规律和物理现象，便于学生对知识点的理解和掌握，值得在教学和科研中推广。

电动力学；Matlab PDE工具箱；高等教育

1 电动力学中引入Matlab PDE工具箱辅助教学的必要性和可行性

电动力学是在电磁学基础上更系统、更深入、更严密地研究电磁场的基本性质、运动规律以及电磁场与带电物质之间相互作用的理论体系，是高校物理及相关专业在普通物理基础上，继续深入学习的一门重要的理论基础课。调查显示[1]，长期以来，传统的教学注重基础知识、基础概念的讲解，强调物理概念和数学描述的统一，给学生的感觉是抽象的理论知识和繁琐的数学推导，有的学生产生畏难和厌学情绪，教学效果不理想。虽然学生能获得扎实的理论基础，但缺乏独立思考能力，不能处理生产、生活中的实际问题，而且有的学生易知难而退，产生厌学情绪，教学效果不尽如人意。如何把抽象理论知识变得形象，引入计算机数字化技术处理电动力学问题是有效手段之一。

在常用的计算机软件中，Matlab是公认的最优秀的应用软件之一，特别是其数值计算与绘图功能更是被广泛应用于大学物理、电磁场与电磁波等诸多高校课程辅助教学中[2-4]。通过笔者调查研究，Matlab的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)可以用于求解电动力学中关于静电磁场、电磁波传播以及工程应用等相关诸多问题[5-7]，把抽象的理论概念变为形象的二维、三维图形，包括静态和动态图，而且易操作，只需要选择正确的微分表达式，设置合适的初值条件和边界条件，避免了复杂的程序编写。

另一方面，很多高校在前期已经开设了电磁学、数学物理方法以及Matlab基础等课程，在数学基础以及软件方面已具备了必要的条件，所以引入Matlab PDE工具箱辅助教学是自然且可行的。

2 Matlab PDE工具箱简介

PDE 工具箱提供了研究和求解二维偏微分方程问题的一个强大又灵活的实用环境，其功能包括设置PDE定解问题(即设置二维定解区域、方程的形式和系数以及边界条件)、用有限元法求解PDE和解的可视化等。

2.1 PDE工具箱求解的方程形式及边界条件

PDE工具箱能求解的主要是定义在二维有界区域Ω上有下列形式的偏微分方程：

椭圆型方程：

(1)

抛物线型方程：

(2)

双曲线型方程：

(3)

特征值方程：

(4)

式中u是偏微分方程的解，c,a,d,f是标题复函数形式的系数，在抛物型和双曲型方程中，它们也可以是t的函数，λ是待求的特征值。

2.2PDE工具箱求解的主要步骤

在Matlab命令窗口输入pdetool命令进入PDEToolbox窗口，利用PDE工具箱求解各类典型方程可以简单的归纳为以下几步：①建立几何模型；②输入边界条件；③输入偏微分方程参数；④划分网络；⑤输入初始条件；⑥求解有限元方程；⑦绘图。

3 Matlab PDE工具箱在电动力学中的应用实例

在电动力学的教学过程中，可以用PDE工具箱来求解静电磁场以及交流电磁场等问题。

3.1 静电场拉普拉斯方程的求解

真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a(a>R0)处有一个点电荷Q，求空间各点的电势。这是教材中典型利用镜像法求解电势的问题，可以方便地用PDE工具箱直观地求解。

仅考虑两维情况，这个问题可以归结为求解以下的定解问题：

(5)

其中C1表示导体球面，用小圆代替点电荷，C2表示小圆面。这里假设R0=0.2，a=1，选择Electrostatics方程模式且取小圆面电势为10V，epsilon=1,rho=0。由图1易直观地看出二维空间电势以及电场分布，点电荷发出的电场线只有一部分收敛于球面，剩下的部分伸展至无穷远。由小圆来代替点电荷会引入一定的误差。

3.2 静磁场泊松方程的求解

半径为a的无限长圆柱导体上有恒定的电流J均匀分布在截面上，试解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为μ0，导体外的磁导率为μ。

选择Magnetostatics方程模式，外边界由半径R的球面代替，仅考虑两维情况，这个问题可以归结为求解以下静磁场的定解问题

(6)

假设R=1，a=0.1,J=10,μ0=1,μ=1.2。由图2可以看出，矢势由内向外逐渐变小，在柱面上变为零，柱面外为负值。磁场由内向外逐渐增大，在柱面上达到最大值，然后沿径向向外逐渐变小。

类似的一大部分关于静电磁场的习题均可用PDE工具箱画出直观的图形，可以在很大程度上帮助学生的学习和理解。

3.3 交流电磁场在导体中的传输

低频电力系统常用铜线或者铝线传输，当铜线通过交流电流时，会产生趋肤效应。选择AC Power Electromagnetics方程模式，电场满足的微分方程形式为：

(7)

当铜线的在线频率为50Hz时，导体内部的电流密度J远远小于导体表面，这里取J=1。由E=σJ，则电场的Dirichlet条件为E=1/σ。铜的电导率数值为σ=58×106，磁导率数值为μ=4π×10-7，ε0=8.85×10-12。图3可以看出很明显的趋肤效应，电场和磁场只在导体表面薄层传输，导体内场量为零。

4 结语

本文依据电动力学的特点以及学生的实际情况，对电动力学的教学方式和手段进行了改革，引入了MatlabPDE工具箱，对于大部分的静电磁场问题以及一部分的电磁波传输问题都可以数值求解。该方法计算方便，速度快，便于学生在短时间内迅速上手，帮助对知识点的直观理解，同时也加深了学生对数学物理方程的理解和掌握。

[1] 熊万杰.电动力学教学的调查研究[J].研究生教育研究,2007,(1):30-33.

[2] 叶松,王向贤,余建立,等.Matlab在大学物理学教学中的应用[J].巢湖学院学报,2011,13(6):147-150.

[3] 王明军,李应乐,唐静.Matlab在电磁场与电磁波课程教学中的应用[J].咸阳师范学院学报,2009,24(2):89-91.

[4] 姜钦扬.Matlab软件在高校教学中的应用[J].沈阳教育学院学报,2008,10(3):31-33.

[5] 李好,杨天春,王齐仁.基于Matlab7.0PDE工具箱求解数学物理方程[J].电脑开发与应用,2009,22(1):26-27,48.

[6] 张纯静,申龙涉,杜义明,等.MatlabPDE工具箱在稠油输送管道中的应用[J].当代化工,2012,41(1):48-49,53.

[7] 牛宏,梁杏,尼胜楠,等.MATLABPDE工具箱在地下水科学实验教学中的应用[J].安全与环境工程,2013,20(6):6-11.

The Auxiliary Application of Matlab PDE Toolbox in Electrodynamics Teaching

LIUSi-ping

(HubeiUniversityofArtsandScience,Xiangyang441053,China)

Electrodynamics is an important basic theoretical course of physics and related major in universities. The teaching content involves a large number of partial differential equations. The complexity of solution process makes it difficult to understand, and hinders the learning interest of students. Matlab PDE toolbox is a good platform to solute the various partial differential equations. It can show the physical laws and phenomenon visually and help understand the knowledge, and should be popularized in the teaching and research.

electrodynamics; Matlab PDE toolbox; higher education

2016-12-17

湖北文理学院校级教研项目(JY2015031);湖北省教育厅科学技术研究计划重点项目(D20152602)

刘思平(1975-)，女，博士，湖北文理学院物理与电子工程学院副教授，研究方向：光学。

G642.3

A

1674-3229(2017)01-0110-03