有理系数多项式的复数根

蔡改香

(安庆师范大学，安徽 安庆 246133)

有理系数多项式的复数根

蔡改香

(安庆师范大学，安徽 安庆 246133)

有理数域上有任意次的不可约多项式，这些不可约的有理系数多项式是没有有理根的，因此，探讨有理系数多项式复数根的一些性质是有意义的。

有理数域;多项式;不可约;复数根

1 研究背景

线性代数和多项式代数是高等代数的基本内容，多项式代数是研究多项式和多项式系统所定义的代数与几何对象的结构、性质、特征、表示及计算的非线性代数。高等代数中多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。而多项式的根在判断多项式整除、互素以及求最大公因式等都有作用。由有理系数多项式不可约的Eistein判别法，我们知道，有理数域上存在任意次的不可约多项式，也就是说这些多项式都不存在有理根。所以研究有理系数多项式的无理根以及复数根是很有意义和必要的。文献[1-4]给出了有理系数多项式存在无理根的一些结论，文献[5]研究了有理系数多项式无理根的一些结果。本文研究有理系数多项式复数根的一些相关结论。

定义1[6]设Q是有理数域，x是一个符号，n是一个非负整数，称表达式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(ai∈Q,i=0,1,2，…,n)

为系数在有理数域Q中的一元多项式，简称为有理数系数多项式，有理数域Q上的一元多项式的全体记为Q[x]。如果an≠0，则n为多项式f(x)的次数，记作∂(f(x))=n。

定义2[6]如果f(x)在x=α时的函数值f(α)=0，那么称α是f(x)的一个根。

定义3[7]设p(x)是数域P上的一个多项式，∂(p(x))≥1，如果p(x)不能表示成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称p(x)是数域P上的一个不可约多项式，否则称其为可约多项式。

2 有理系数多项式的复数根

g(x)=x4-2(a-b)x2+(a+b)2∈Q[x]

在有理数域Q上不可约。

综上，由多项式因式分解的唯一性，g(x)在Q上也不能分解为两个二次多项式的乘积。

证明 由引理1，g(x)=x4-2(a-b)x2+(a+b)2=(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)在Q上不可约。令h(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)(x-β4)=g(x-c)，则h(x)=g(x-c)在Q上不可约。设Ψ(x)是Q上以βk(k∈{1,2,3,4})为根的非零多项式中次数最低的多项式，设∂(Ψ(x))=m，则m≥1。由带余式除法，存在q(x),r(x)∈Q[x]，使h(x)=q(x)Ψ(x)+r(x),r(x)=0，或∂(r(x))

类同引理1和引理2的证明，我们有下面的结论。

证明 设h(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)(x-β4)=(x-c)4-2(a-b)(x-c)2+(a+b)2∈Q[x]，由带余式除法，存在q(x),r(x)∈Q[x]，使f(x)=q(x)h(x)+r(x),r(x)=0，或∂(r(x))<4。设βk(k∈{1,2,3,4})是f(x)的根，则f(βk)=f(βk)-q(βk)h(βk)=0。由引理2，r(x)=0。因此，f(x)=q(x)h(x)。所以f(βk)=0,(k=1,2,3,4)。

证明 在定理2中令c=0即得结论。

由引理3和定理2类似的证明得下面的定理。

[1] 朱玉扬.整系数多项式有理根一个新求法的再探讨[J].数学的实践与认识，2005，35(5)：229-232．

[2] 罗永超.一类有理系数多项式无有理根的判别[J].贵州师范大学学报，2006，24(2)：88-91．

[3] 罗永超.一类整系数多项式的不可约性与有理根存在性的判别[J].数学的实践与认识，2007，37(21)：94-99．

[4] 罗永超.关于整系数多项式无有理根的一个判别法的注记[J].贵州师范大学学报，2011，29(1)：43-47．

[5] 吴捷文，张君敏.关于有理数域上关于多项式无理根的若干结果[J].科技信息，2009，(16)：74．

[6] 胡万宝，等.高等代数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2013.

[7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

The Complex Root of Rational Coefficients Polynomial

CAIGai-xiang

(AnqingNormalUniversity，Anqing246133，China)

There exists any number of times of polynomials in rational number field, and these irreducible rational coefficients polynomials have no rational root. Therefore, it is of importance to discuss some properties of complex root of rational coefficients polynomial.

rational number field; polynomial; irreducible; complex root

2016-12-15

安徽省2016年高等学校省级质量工程项目教学研究项目(2016jyxm0620)；安徽省2015年高等学校省级质量工程项目教学研究项目(2015jyxm230)

蔡改香(1981-)，女，硕士，安庆师范大学数学与计算科学学院讲师， 研究方向：谱图理论及其应用。

O151.21

A

1674-3229(2017)01-0015-02