“分数是什么，怎么教”的研究报告

2017-04-12高子林

教学月刊(小学版) 2017年8期

□ 高子林

“分数是什么，怎么教”的研究报告

□ 高子林

分数是小学数学教学的重点也是难点。经过长期的教学改革，分数教学始终没能有效帮助学生解决“量”与“率”的科学建构。从“率”入手的教学偏向于知识的“顺应”，是“开一口新井”；从“量”入手的教学是“在老井里打水”，更加重视知识的“同化”。本报告试图从数学的知识逻辑、学生的认知逻辑和教师的教学逻辑中，找寻突破分数教学困境的路径——先用“平均除”引入作为量的分数，然后用“倍数除”引入作为率的分数，再构建完整的“商定义”与“份定义”兼顾的分数概念。

分数学情经验教学改进

分数是小学数学教学的重点也是难点。经过长期的教学改革，分数教学始终没能有效帮助学生解决“量”与“率”的科学建构，令类似“一根铁丝长2米，平均分成4份，每份长（）米，每份占全长的（）”这样的高错误率问题长期困扰一线教师。原因是什么？是学生的心智不够成熟引起的吗？是教师的教法不够机智引起的吗？是教材的编排不够科学引起的吗？如果学生的心智能够接受分数，那么问题一定出在教材或教师的身上。本报告试图打开这个“心结”。

一、内容解读

分数是什么？要讲清它，我们首先要了解一件很重要的事件——“量的度量”——“在度量的时候，得出一个数，它表示一已知量所含度量单位的倍数，这个数叫作该量的数值……一般说起来，量A如果用度量单位B去度量，如果不是整数倍数时，度量的结果便不能用整数来表示。我们便把B分为n等份，取其中的一等份作度量单位而去量它的剩余部分。假如刚好量m次量尽了，那么量A的剩余部分的度量结果用来表示所产生的新数。这新数叫作分数，数m叫作分子而数n叫作分母”。而类似于“度量”的情况，也可能在“分物”时出现，而且统统都是“平均除”解决问题的过程——“分数的真正来源，在于自然数除法的推广”。因此，人教版教材在“分数的产生”一节中就讲到“在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示”。这也可能是北师大版教材在“分数的意义”教学中，会有“用纸条量数学书的长宽”“猪八戒分饼”“分数与除法”等专题的道理。

分数有一种十分流行的定义：“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫作分数。”这正是目前所编教材所采用的观点，即所谓的份数定义。

但是，分数的本质却是“分数是两个整数相除（除数不为0）的商”（商定义），或“分数是整数q与整数p（p≠0）之比”（比定义）。由此看，分数的“份数定义”其实就是“比定义”的一部分（部分和整体的比）。

“比的定义和商的定义相近，值相同，表达的方式不同。在教学处理上，第一阶段的分数教学，先出份数的定义，然后过渡到商定义”。现行教材，基本上就是按照这样的逻辑展开的，因而大同小异。如下表。

认识1苏教版份数意义认识2 §1份数定义§2商定义（分数与除法）认识3人教版份数意义§1分数的产生§2份数定义§3 商定义（分数与除法）比定义（除法、分数与比）北师大版份数意义§1份数定义§2份数定义（测量）§3份数定义（分物）§4商定义（分数与除法）比定义（除法、分数与比）比定义（除法、分数与比）

二、学生研究

现行教材中，用份数来定义分数，有不少缺点。比如图1，学生会看到什么分数呢？

图1

调查结果如下表：

可见，“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫作分数”只揭示出了“部分与整体的关系”，常常让学生误解为分数总是小于1。同时，用份数来定义分数，也容易让学生将分数与商对立起来，不仅“矮化”了分数概念，而且“钝化”了除法思维。比如在笔者组织的一项调查中，面对“把8个月饼平均分成4份，每份是（）个，每份占总数的（）”，学习分数之前的二年级学生和学习分数之后的四年级学生，出现了令人匪夷所思的结果——

二年级四年级六年级每份是（）个正确率91.9%正确率22.6%正确率90.9%每份占总数的（）正确率8.1%正确率51.6%正确率87.9%

四年级学生虽然对“率”的理解水平在上升，但对“量”的理解水平却出现了明显下降，而到六年级又大为改善。为什么会这样？笔者发现，除了“两个相近问题出现了相互干扰”外，还大致与学生的数学经验和思维方式相关——

二年级学生采用“自然数除法”思考：把8个月饼平均分成4份，每份都是2个。

四年级学生试图用“份数定义”思考“数量”：把8个月饼看作一个整体，平均分成4份，每份是4分之一个（笔者注：分数的份数定义与自然数除法“打了架”）。

六年级学生用“商定义”或“比定义”的方式进行思考：把8个月饼平均分成4份，每份是8个除以4份等于2个，也是2个除以8个等于总数的4分之一（笔者注：这是数量比的方法），或者1份除以4份等于总数的4分之一（笔者注：这是份数比的方法）。

由此，我们是不是可以这样说，分数的“份数定义”从某种意义上讲，是横亘在学生基于“平均分思想（自然数除法）”将自然数自发扩展至有理数的巨石，令学生不能从一开始就有效建构“分数”与“除法”的因果联系。

三、经验回顾

近二十年来，教育界对待分数教学的主流策略是从“率”入手——对一个整体平均分后用“部分与整体的份数关系”定义分数，再逐步沟通“分数与除法、分数与比的关系”。这也是现行教材的特点。而小众做法是从“量”入手，虽然也用“份数关系”定义分数，但表征的是分物或测量时不能用整数表示部分的数量，再逐步沟通“分数与除法、分数与比的关系”。两者虽然各有千秋，但均是围绕分数的“份数定义”展开的。

（一）由“率”入手的设计（邱向理：分数的初步认识）

从激活学生的生活经验切入，通过操作活动提升为活动经验和数学知识——把一个苹果平均分成两份，其中的一份可以用表示；把一张纸平均分成两份，其中的一份可以用表示；把一张纸平均分成四份，其中一份可以用表示……学生新认识的分数是一种以“率”的身份存在的数。

师：佳佳和弟弟有一个苹果，你猜他们怎样分着吃？

……

生：可能一人一半分吃了。

师：（把一个苹果平均分成两份）你能用一个数表示一个苹果的一半吗？（二分之一；1的一半；0.5；

师：选一张纸（长方形、正方形、圆形、正三角形），折出这张纸的。

师：哪个不是二分之一？（略）

师：选一张纸（长方形、正方形、圆形、正三角形），折出这张纸的。

……

（二）由“量”入手的设计（朱国荣：分数的初步认识）

按照认识自然数的逻辑顺序，组织学生以平均分为基础认识表示数量的分数，并渗透分数表示部分与整体关系的含义——把8个月饼平均分成4份，其中1份有2个；把1个月饼平均分成4份，其中1份的大小是个；把1个月饼平均分成3份，其中1份的大小是个……学生新认识的分数是一种以“量”的身份存在的数。

师：把8个月饼平均分给4人，每人分得几个？（略）

师：把9个月饼平均分给4人，结果是什么？生：每人2个，多1个。

生：每人2个，最后1个分成4份。

师：老师也分成了4份，你们同意这样分吗？

生：不同意。要平均分。

师：他说要平均分，你们明白他的意思吗？是不是这样？

师：我们把这个饼平均分成了4份。那一个人吃多少个呢？（生上来指出其中的1份）

师：这一份如果要用一个数来表示，你会怎么表示？

师：4位小朋友有4种不同的写法，你赞同哪一种，为什么？

生：我觉得半个的半个也可以，就是写起来比较麻烦。

生：最后一个写倒了。

师：写“一块”行不行？

生：写“一块”是不行的，如果写“一块”，我们不知道这一块有多大。

师：这个数读作四分之一，是我们今天这节课要认识的一种新的数——分数。

师：把1个月饼平均分成3份，每份是（）个月饼。（略）把1个月饼平均分成5份，每份是（）个月饼。（略）

……

四、教学改进

虽然上面两位教学专家都利用“份数定义”指导学生认识分数，但是，从学的角度讲，从“率”入手的设计偏向于知识的“顺应”，是“开一口新的井”；而从“量”入手的设计是“在老井里打水”，更加重视知识的“同化”。这是因为学生之前一直学习“自然数除法”，对于“量”的生活经验和数学认知明显多于“率”，从“量”入手进行分数教学，就是像自然数那样学习分数，更容易进入学生的认知结构。这也吻合分数的起源。从“量”入手既代表了小学数学界对“生本课堂”的追求，也预示了分数教学改革的趋势。

从“量”入手，已经距离“用分数表示商”不远。我们能不能以“自然数除法”为依托再向前推进一步，采用“商的扩展”（商定义）方式组织分数教学呢？有专家也曾说过：从知识衔接的角度，建议可在有关实物均分的整体与部分的例子中增加若干运用到简单除法运算的例子，从而引导学生关注分数与除法的关系，一方面显示分数就是除法运算的结果，另一方面帮助学生将分数从具体事物中抽象出来。

从学生的学习经验和知识储备看，他们有丰富的“平均除”和“倍数除”经验，尤其是“平均除”，具有在原有整数商的基础上建构分数商的基础。

从数学的发展来看，如果抛开分数的公理化定义，分数的商定义和比定义涵盖作为量的分数和作为率的分数，外延较之份数定义要大。如下图。

笔者认为：把从“量”入手认识分数的策略进一步推向前进，引入分数的“商定义”，同时兼顾“份数定义”，可以更好地帮助学生“同化”和“建构”分数，实现有理数认识的自然生长。具体做法是：先用“平均除”引入作为量的分数，然后用“倍数除”引入作为率的分数，再构建完整的“商定义”与“比定义”兼顾的分数概念。

（一）“认识分数（量）”的新设计（在朱国荣团队研究成果上改进，见表1）

表1

（二）“认识分数（率）”的新设计（在朱国荣团队研究成果上改进，见表2）

虽然从最终获得知识的结果看，分数的教学无论是“先率再量”还是“先量再率”，无论是“先份数定义，再扩展到商定义”还是“商定义兼顾份数定义”，殊途同归，似乎并没有多大差别。但是，从学生的认识逻辑看，意义却是非同凡响的——前者，以知识为本，学习方式以顺应为主；后者，以学生为本，学习方式以同化为主。在尊重认知规律、倡导生本课堂的今天，我们或许更应该考虑后者。