一种斜齿轮啮合刚度的简易求解方法

张 强，刘晓宇，汪玉兰，何 鸣

（遵义师范学院工学院，贵州遵义563006）

一种斜齿轮啮合刚度的简易求解方法

张 强，刘晓宇，汪玉兰，何 鸣

（遵义师范学院工学院，贵州遵义563006）

通过对斜齿轮副啮合过程进行分析，得到其啮合线总长度的计算公式；并假定轮齿变形和受载均在接触线长度方向上呈均匀分布，由此推导出斜齿轮时变啮合刚度的近似计算公式。最后通过实例计算，对比了该方法与参考文献所给方法计算结果的差异，结果表明该方法计算过程简单，求解结果较为精确。

斜齿轮；啮合过程；时变啮合刚度；接触线

在对齿轮传动系统进行动力学分析时，确定系统的动态激励往往是首要问题[1]。根据来源不同，齿轮系统的动态激励主要分为外部激励和内部激励。外部激励主要是指驱动系统的主动力矩和负载设备的阻力矩；内部激励主要是指在齿轮啮合过程产生的一些动态激励，包括误差激励、啮合冲击激励和刚度激励。在这些激励中，刚度激励由于时变性和复杂性使其成为齿轮动态激励求解的一大难题，尤其是对于斜齿轮而言，其啮合过程中的轮齿变形在空间中呈螺旋状分布，且是非线性的，因此求解难度非常大。从目前来看，对于斜齿轮刚度激励的求解通常都是基于轮齿弹性变形理论[1-3]，常用的方法有积分法[4]和有限元法[5]。利用这两种方法可以获得十分精确的数值解，但是过程相当复杂，通常都需要高配置的计算机经过长时间的计算后方可求得，因此大大增加了求解的经济成本和时间成本。针对现行方法需要进行大量计算等问题，本文提出了一种简单、高效的斜齿轮啮合刚度近似解法，并通过与常规方法的求解结果进行比较，论证了该方法的可行性。

1 斜齿轮副啮合过程分析

斜齿轮副的啮合过程如图1所示。假设上面的齿轮为主动轮，下面的齿轮为从动轮,ro1、ro2分别为它们的基圆半径，E1代表从动轮前端面的齿廓（实线部分），E2代表从动轮后端面的齿廓（虚线部分），两者的齿形错位角记为1，假设某端面的齿阔由进入啮合到退出啮合过程中所转过的角度为2，N1、N2分别为理论啮合线的起始点和终止点，B1、B2分别为实际啮合线的起始点和终止点，n1为主动轮的转速。

图1 斜齿轮副啮合过程

根据传动过程中的几何关系可得：

式中，mn为斜齿轮的法向模数；z1为主动轮的齿数；z2为从动轮的齿数；at为端面的压力角；an为法向的压力角；为斜齿轮的螺旋角；B为齿宽。

为了更加直观、方便地对其啮合过程进行分析，将其啮合平面按基圆进行展开，如图2所示。斜齿轮副的后端面首先在H点处进入啮合，随着主动轮的转动，啮合部位逐渐由一个点变成一条线，称为接触线，而且当斜齿轮副的前端面也处于啮合状态时，其接触线达到最长，记为lmax；随着啮合的进行，后端面的齿廓在I点率先退出啮合，直到前端面的齿廓在B2点退出啮合时，两个轮齿完全脱离啮合。

图2 斜齿轮副按基圆展开

2 斜齿轮副的接触线长度计算

在图2中，由斜齿轮副的传动原理可知：

其中，lHI为H点到I点的距离；a为斜齿轮副的端面重合度，Pb为斜齿轮副的基节，b为基圆的螺旋角。据此可知，一对斜齿轮副的接触线长度l1(t)在啮合过程中先是逐渐变长，然后保持不变，接着再逐渐变短，直至为零，如图3所示。

图3 单对斜齿轮副接触线长度变化曲线

假设接触线由零变为最长所需的时间为t1，再由最长逐渐变为零所需的时间为t2，则在图3中t1代表横坐标从B1'点到B1点所经历的时间，t2代表横坐标从B1点到B2点所经历的时间。因为主动轮的转速为n1，故而有：

由图3可知，在一个啮合周期内单对斜齿轮副接触线长度的数学表达式为：

将式（1）、（2）、（9）带入式（10）中即可求得单条接触线长度的完整表达式，它只与齿轮副的参数以及主动轮的转速有关。通常斜齿轮副的重合度均大于2，这意味着任意时刻至少有2对齿同时参与啮合。由于每对齿廓的接触线在啮合过程中都是一致变化的，因此其总的接触线长度可以由每对齿廓的接触线进行合成。假设一对轮齿的啮合周期为Tm，则有：

下面以一对斜齿轮副为例，假设其重合度为2.7573，因此在一个啮合周期内，参与啮合的齿对数会存在双齿对与三齿对的交替变化，其多齿对下的接触线长度变化如图4所示。将图4中多对轮齿的接触线在同一时刻进行合成，可以得到总的接触线长度变化情况，如图5所示。由图5可知，斜齿轮副的总接触线长度存在周期性变化，主要是由于啮合齿对的交替变化所致，当同时参与啮合的齿对较多时，总的接触线相对较长，反之则较短。

图4 多对轮齿的接触线变化情况

图5 斜齿轮副总接触线长度变化曲线

斜齿轮副总接触线长度的数学表达式为：

根据文献[6]可知，齿轮副的啮合刚度是指使一对或几对同时啮合的精确轮齿在1mm齿宽上产生1um挠度所需的啮合线上的载荷。因此，啮合刚度主要是指轮齿载荷与轮齿变形的比值关系。假如在轮齿啮合的过程中，轮齿上所受到的载荷沿接触线方向呈均匀分布，并且轮齿的变形沿接触线方向也是呈均匀分布的，则两者的比值（即啮合刚度）就只与接触线的长度有关，并且呈正比关系，即当接触线越长时，轮齿的啮合刚度也越大，意味着轮齿发生单位变形所需要的力就越大，有关的数学表达式如下：

式中，k(t)为时变啮合刚度，与时间有关；l(t)为总的接触线长度，也具有时变特性；k0为比值系数。由此可知，啮合刚度的时变特性主要是由接触线的时变特性所致，而接触线的时变特性主要是由啮合齿对的交替变化所致，三者的时变周期完全一致，都为轮齿的啮合周期T。将式（13）写成傅里叶级数的形式有：

式中，km为斜齿轮副的平均啮合刚度，an、bn为傅里叶系数，其计算公式为：

实际计算时，可先计算出斜齿轮副总的接触线长度l(t)，并求出其均值l，然后再由国标 GB/ T3480-1997[6]查得斜齿轮副的平均啮合刚度km，利用式（13）可由l和km求出比值系数k0，从而得到k(t)，最后再由式（14）、（15）便可得到时变刚度的近似数值解。

3 实例计算与误差分析

以表1中所给的斜齿轮副为例，先根据齿轮副的参数查国标可得其平均啮合刚度km=13.3548N/ (um·mm)，再求出平均接触线长度l，可得其比值系数k0=0.3629，通过对k(t)进行六阶多项式拟合可得如图6所示的结果。

表1 斜齿轮副参数表

图6 斜齿轮副的时变刚度及其六阶多项式拟合曲线

为了进一步验证该方法的合理性，将本次结果与文献[7]所给方法计算出的结果进行对比，如图7所示。

图7 两种方法所得结果对比

在图7中，虚线是利用参考文献所给方法的计算结果，实线是本方法的计算结果。从图7可以看出，两条曲线的变化趋势十分相似，经计算最大相对误差max=0.0386，均值相对误差=0.0058，可见两者的计算结果非常接近。究其原因，主要是本方法仍采用国标中的计算公式来求解平均啮合刚度，因此在计算结果中具有较高的均值逼近效果；其次，啮合刚度的波动本质上是由于啮合齿对的交替变化所致，这一因素同样会引起接触线总长度的周期性变化，因此本方法利用接触线长度的变化来拟合时变刚度的变化，因此在变化趋势上也可取得较好的逼近效果，故而利用这种简易方法可以较快地获得时变啮合刚度的数值解，且计算结果具有较高的参考价值。

4 结论

本文通过对斜齿轮副啮合过程的分析，提出了通过计算啮合线长度来近似求解时变啮合刚度的简易方法，即先求解啮合线长度的表达式，再通过平均啮合刚度求出常值系数，最后再对理论的时变刚度曲线进行六阶多项式拟合即可得到所需的数值解。实例计算结果表明该方法简单易行，计算结果具有较高的参考价值。

[1]李润方,王建军.齿轮系统动力学[M].北京:科学出版社,1997.

[2]王建军,张永忠,魏任之.齿轮轮齿弹性变形的计算方法评述[J].机械科学与技术,1996,15(6):863-870.

[3]王龙宝.齿轮刚度计算及其有限元分析[D].镇江:江苏大学, 2007.

[4]卜忠红,刘更,吴立言.斜齿轮啮合刚度变化规律研究[J].航空动力学报,2010,25(4):957-962.

[5]常乐浩,刘更,郑雅萍,等.一种基于有限元法和弹性接触理论的齿轮啮合刚度改进算法[J].航空动力学报,2014,29(3): 683-688.

[6]GB/T3480-1997.中国机械工业标准[S].

[7]常乐浩,刘更,郑雅萍,等.一种基于有限元法和弹性接触理论的齿轮啮合刚度改进算法[J].航空动力学报,2014,29(3): 683-688.

（责任编辑：朱 彬）

On the Simple Solution to of Helical Gear

ZHANG Qiang,LIU Xiao-yu,WANG Yu-lan,HE Ming
(Engineering School,Zunyi Normal College,Zunyi 563006,China)

The formula about the whole length of the meshing line is achieved after the analysis of the meshing course for gear pair.And if we suppose deformation and theloading assume even distribution in the direction ofcontactline,we can infertheapproximate formula for the meshing stiffness of helical gear,which is exemplified through some examples.After comparing the differences between the formula mentioned above and the one in the bibliography,we can find that the formula mentioned above is simpler and easier,and besides, the result from the formula is relatively accurate.

helical gear;meshing course;changing meshing stiffness;contact line

TH132

A

1009-3583（2017）-0118-04

2016-09-19

张 强，男，重庆人，遵义师范学院工学院讲师，硕士。