常见的数学逻辑推理题的解法

蒋邕平

内容提要：数学本身具有严谨的逻辑性，提高逻辑推理能力是学好数学的关键。数学中常见的推理有逻辑推理、数字推理和图形推理三大类。

关键词：数学 推理 解题

【中图分类号】G633.6

一、 逻辑推理

（一）列表法

例1 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？

分析与解：由题知：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。因农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，故小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

例1中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

例2甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

分析与解：由（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：

因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表（2） 。所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

（二）假设法

例3四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”

宝宝说：“是星星无意打破的。”星星说：“是樂乐打破的。”乐乐说：“星星说谎。”强强说：“反正不是我打破的。”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破玻璃？

分析与解：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。所以是强强打破了玻璃。

由例3看出，用假设法解逻辑问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，那么符合题意，假设成立。

例4甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。

甲说：“丙第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

分析与解：以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。

假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。

再假设甲的第二句“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

二、数字推理

数字推理的本质是研究数字间的运算或位置关系，涉及数字和数据关系的分析、推理、判断和运算等，旨在测查理解、把握事物间量化关系和解决数量关系的技能，解题原则如下：项数多，优先考虑组合数列；出现特征数字，优先从特征数字入手；增幅越来越大，优先从乘积、幂考虑；递增或递减，但幅度缓和，优先考虑相邻两项之差；各项倍数关系明显，优先考虑作商或积及其变式；最好结合选项中的数，进一步判断规律。

解数字推理题通常的有六种思考方法：

（一）从相邻项之差入手

思路不明时，考虑数列相邻项之差是解决数字推理问题的第一思维。

例5 1.5，5，5，12，5， （ ）

A. 3； B. 1； C. 24； D. 26

解：做相邻两项之差得 3.5，0，7，-7，再做差得 -3.5，7，-14，这是公比为-2的等比数列，下一项为28，因此数列3.5， 0，7， -7，下一项为21，所缺项应为 26，选D 。

（二）分析相邻项之间的商、和、积

局部分析尤为重要。当某两项（或多项）的和、积、商关系明显时，优先考虑此法。若数明显上升，可考虑相邻项之和或积；当相邻项之间存在比例关系时，可考虑相邻项的商。

例6 2/3， 3， 4，14，58， （ ）

A. 814 ； B. 836 ； C. 802 ； D. 828

解： A。由14、58变化到800多，暗示考虑相邻项的乘积。猜想前一项与后一项之积加2得第三项，验证均成立。 2/3 ×3+2=3，3×4+2=14， 4×14+2=58，14×58+2=814，选A。

（三）猜各项间的运算关系

各项在横向上有时存在相同的四则运算关系，要多心算、多假设。常见两类：一是前一项经过运算得后一项；二是前两项经过运算得第三项。常见两种情形：⑴前一项的倍数加常数或加基本数列得下一项；⑵前一项的倍数加后一项的倍数得第三项。

例7 2， 5， 17， 71， （ ）

A.149 ； B.359 ； C.273 ； D.463

解：2×2+1=5，5×3+2=17， 17×4+3=71，71×5+4=359，选B。

（四）找通项公式

各项有时可用相同形式表示。在形成了一定的数字敏感度之后，解这类题就是一种直觉。

例8 4 ，11 ，30 ，67 ，（）

A. 126 ； B. 127 ； C. 128 ； D.129

解：研究通项的规律。 4=1^3+3 ，1=2^3+3，30=3^3+3， 67=4^3+3，

是自然数列的立方加3，依此规律，（）内之数应为5^3+3=128，选C。

（五）分析结构和位置

整体考察，找到结构特点。在解决图形形式的数字推理问题时，考虑图形结构和数字位置更为重要。

例9 2，3，6，9，14，15，30，（），62，27

A. 21 ； B.37 ； C. 35 ； D.24

解：此题是间隔组合数列，奇数项2、6、14、30依次做差得4、8、16、32，是公比为2的等比数列，于是认为奇数项是二级等比数列变式。偶数项3、9、15、（）、（），可假设是一个公差为6的等差数列，则（）应填入21，选A。

（六）探求整体特征

各项表现出的共有特征主要存在于以下几个方面：整除、质数合数、排序、数位组合、数字之和等等。

例10 422，352，516， 743，682，（ ）

A.628 ； B.576 ； C.495 ； D.729

解：各项数字之和依次是8、10、12、14、16，构成公差为2的等差数列，故（）的数字之和应是18。每项有一个数字是其他数字之和，第一项4=2+2，第二项5=3+2，第三项6=5+1，第四项7=4+3，第五项8=6+2，可见最大数字在百位、十位、个位循环出现，因此（）的最大数字应在个位，选D。

三、图形推理

图形推理要求从所给出的四个选项中，选择最合適的一个填入所缺项，使之呈现一定的规律性，测查观察、抽象、推理能力。图形推理包括规律推理和重构推理。规律推理是针对所给若干幅图形的规律，选择新图形以延续现有的规律性。要求从给出的图形中，找出排列规律，据此推导符合规律的图形。根据图形的变化规律可将题型分为数量类、样式类和位置类。重构推理主要集中于空间构成，也称为叠纸盒。常见的其解题技巧有如下几种：1.仔细观察图形的大小变化、构成要素的增减、笔画多少、旋转方向、组合顺序、叠加等；2.必须找出第一套图的规律，然后用到第二套图形中去。要观察图形的要点有：图形的大小、笔画曲直多少、方向的旋转、图形的组合顺序、图形的叠加、求同等等；3.要避免视觉错误，最好将所选答案去印证一下所找出的规律。

例11 从所给的四个选项中，选择最适合的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

解：D。考虑对称轴方向，题中都是轴对称图形，而且对称轴方向呈现水平、竖直、水平+竖直，水平+竖直，竖直、（水平）的对称关系，选D。

例12把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（ ）

A. ①③⑥，②④⑤， B. ①③⑤，②④⑥

C. ①③④，②⑤⑥， D. ①⑤⑥，②③④

解：C。 分析位置关系，各图均有两个黑点，根据两黑点连线与各图内部直线的方向的位置关系，可分为两类：在①③④中，黑点连线与图形内部直线为平行关系；在②⑤⑥中，黑点连线与图形内部直线为垂直关系。故选C。

例13 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

解：C。研究共性（公共部分）问题，各图内部的小图形之间相接处都是点，没有出现相切的边，A、B、D三项中，各小图形之间都出现了相切的边，故选C。

另外，在运用图形推理解题过程中，还可以从图形的笔画数、数量关系、图形的特征、共性关系、折叠规律等特点进行推理。