基于Matlab的食堂就餐排队系统的建模与分析

吴亚男+孙雷鸣+张莎+谢鹏英+吴秉衡

【摘要】：良好的餐饮服务体系是学生良好的校园生活保障，是学校后勤服务系统的最重要环节之一，但学生食堂排队拥挤现象仍是现在各大高校急需解决的问题，我们对此进行了长期的研究与分析。主要应用排队论的思想，排队论又称随机服务系统理论，能够解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题【1】。运用概率论中的正态分布函数【2】和优化组合原理进行调整，从而解决食堂问题。用MATLAB软件绘出各菜种人数与时间的关系，通过建立数学模型，得出食堂排队系统最优化方案，解决食堂就餐拥挤问题，从而优化食堂资源，提高经济效益。

【关键字】：数学建模，就餐效率，正态分布，菜组窗口数，优化配置

【中图分类号】G647

一、建立模型目的及意义

食品安全一直受到学校领导及广大学生的高度重视，食堂体系也反映出学校的管理体系优化与否，所以深层次的挖掘与分析，科学处理合理利用这次的调查与研究，可以更好地服务于学生，提高学校后勤服务质量。

二、建立模型过程分析

我们运用MATLAB数学工具进行分析，绘制了时间与人数的关系图，此高级语言还可用于技术计算，其中的二维和三维图形函數主要作用是可视化数据，将数据通过图像变现出来其走势。【3】在食堂统计过程中得到一系列的离散数据，为了利用这些数据得到一个平滑的曲线来更加直观形象的反映其变化规律，我们运用matlab进行了曲线拟合。matlab中提供了polyfit函数来实现曲线拟合最小二乘法，它是曲线拟合最常用的一种方法。interp1一维数据插值，该函数对数据点之间计算内插值，它可以找出一元函数f（x）在中间点的数值，其中函数表达式由所给数据决定。

三、模型的建立及运算解析

根据调查的实际数据，通过MATLAB软件绘出人流量走势图，方便直观的看出随着时间变化，人数的变化趋势。可以看出，抽查的这个食堂窗口拥挤时间保持在12分钟左右，人数从11：30到11：44一直在增加，从11：45到12：05人数逐渐减少。

本次调查的食堂窗口种类有：大米、锅仔、特色面食、接待和面食。为了求出每个菜种合理窗口数，我们建立的数学模型是：H=拥挤时间段的总人数/每分钟窗口合理人流量×窗口数×拥挤时间，用字母表示该数学公式：H'=（H1+H2）/2 H=M/（N*F*T）

其中：M拥挤时间段的总人数，N每分钟窗口合理人流量，F窗口数，T拥挤时间，H'平均参数，

F'合理窗口数，H为参变量，用来衡量菜组窗口是否合理，希望预期值为1，通过计算得出的H大于1，则视为拥挤，需要增设窗口；小于1，则应该减少窗口。

以下是详细的计算合理窗口数的过程：

假设拥挤时间段为每天的11：36-11：47

例：大米窗口，4月21日H1=493/（10×4×10）=1.23

4月25日H2=88/（10×2×10）=0.44

求合理窗口数时的H=1，假设合理窗口数为X，则：

4月21日H1=493/（10×X×10）=1，解出X=4.93

4月25日H2=88/（10×X×10）=1，解出X=0.88

现在餐厅工作日大米窗口有4个，需增设1个；周末大米窗口有2个，需要减1个窗口。

其他窗口求合理窗口数的过程与这个相同，经计算，得出餐厅工作日锅仔窗口数不需要变动，周末需要增设1个；餐厅工作日接待窗口数需要增设1个，周末需要增设1个；餐厅工作日特色面食窗口数需要增设1个，周末需要减设1个；餐厅工作日面食窗口数需要增设1个，周末无需变动。

经过对各个菜种窗口数的调整，分别用H1，H2，H3，H4，H5这5个指标来衡量这5个菜组是否拥挤，同时引入一个总的可以衡量食堂拥挤程度的参数H总，H总=（H1+H2+H3+H4+H5）/5，通过计算得出，H总=0.908，它可以看出窗口调整后对整个餐厅就餐拥挤程度总的效果，同样以H=1作为参考值，大于1则拥挤，小于1则不拥挤，计算得出的H总小于1，说明经过调整，餐厅就餐情况得到改善，窗口数得到优化。

接下来，为了更深入的研究调整后的每个菜种与餐厅总水平的偏离程度，引入方差分析。方差分析通过检验个体与总体之差来判断影响效果是否显著，使用方差分析时，必须满足一定的条件，被称作方差分析的基本假定【4】。假定如下：

1、每个总体必须服从正态分布。

2、每个总体的标准差必须相同。

四、影响函数变化的指标分析

1、窗口数F的变化会对数学函数产生影响。当窗口数F增加时，拥挤时间T就会缩短，相应的拥挤时间段的总人数M下降，拥挤程度下降，H也会随之下降。

2、拥挤时间的总人数M的变化会对数学函数产生影响。当窗口数F一定，每分钟的各窗口合理人流量N一定，拥挤时间T一定时，拥挤时间段的总人数M减少，H也会随之下降。

3、每分钟的各窗口合理人流量N的变化会对数学函数产生影响。当窗口数F一定，拥挤时间的总人数M一定，拥挤时间T一定时，每分钟各窗口的合理人流量增大，H则减小。

五、结论

在生产和科学研究中，人们往往要按照预定的目标去实现过程的控制，这就是说，在客观条件允许范围内，选择最好的措施控制某过程的发展，以便更好地实现预定的目标，这就是过程最优化。【5】该项目的核心思想就是最优化，将得出数学模型方案，运用到学校的食堂就餐排队中，实践证明，这套方案确实可以减缓食堂的拥挤情况，有效利用学校的资源，实现该模型预期的目标。该模型虽然已经有效的解决了食堂拥挤情况，但是仍存在不足之处：

1、文中只是给出了有限的几个影响因素，对系统的优化仍然不够高，鉴与此，接下来应该实地调查更多的学校，统计更多的数据，使研究结果和方案更具有代表性。

2、由于学习的专业水平有限，对最优化理论了解的还是不够深入，以后我们应该继续深入学习，提出更多的改进方案，从而可以更优化食堂就餐系统，使效果更为明显。

参考文献

【1】运筹学/熊伟编著.—2版.—北京：机械工业出版社，2009.9

【2】概率论与数理统计/同济大学数学系编著.4版. —上海：同济大学出版社，2009

【3】MATLAB概率与数理统计/周品 编著. —北京.清华大学出版社，2012.11

【4】应用统计学/潘鸿，张小宇，吴勇民 编著.-北京：人民邮电出版社，2011

【5】最优化方法及其MATLAB程序设计/马昌凤 编著.—北京：科学出版社，2010