浅谈数学建模在初中数学中的应用举例

邓廷祥

相比较于小学数学而言，初中数学无论在知识的深度还是广度上都有极大的提升，从以前单纯的学习正数到现在的对数的扩充到实数，从单一的研究数的运算到引入整式对式的作用的扩展，从单一的认识某一几何图形到详细研究几何图形的性质、运用，增加函数、增加概率……

全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生以有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力。情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”在近年的中考题目中对这类题型也越发地偏重。

那么在初中数学中有哪些是数学模型是我们需要重点关注的呢？

一、“方程（组）”模型

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决

例1A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x+1）公里。

依题意得：

解得x1=2，x2=-3

经检验x1=2，x2=-3都是原方程的根。

但x2=-3不符合题意，舍去。

∴x+1=3

答：甲工程隊每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。

二、“不等式（组）”模型

现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。

三、“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。

例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）y=90-3（x-50）化简，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）

=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600

=-3（x-60）2+1125

∵a=-3<0 ∴抛物线开口向下

当x=60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，

∴当x=55时，w的最大值为1125元，

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润

四、“几何”模型

几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决

五、“统计”模型

统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。

六、“概率”模型

概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。

这些模型所内涵的知识点在平时的教学过程中也是需要重点给学生讲解，学生必须掌握的知识点。如果在平时的教学过程中将数学建模的思想融入到课堂上，学生学起来会更轻松，理解起来更容易，老师教起来也更得心应手。