差分方程应用于市场经济中蛛网模型

陈明+张爱国+彭慧丹

摘 要：针对市场经济中需求与供应关系而导致的价格与数量的振荡现象，首先用图形方法建立蛛网模型，并从图像角度分析振荡稳定条件。为从理论上得到稳定条件，引入差分方程并加以改进而建立数学模型，从而得到稳定条件。接着对模型进行分析，最后简单介绍经济不稳定时的干预措施。

关键词：差分方程；蛛网模型；平衡点；稳定；市场经济

中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2017）07-0005-02

市场经济中当期商品价格是由消费者的需求量而定，而下期商品数量是由生产者的供应量而定。需求关系与供应关系导致商品价格与数量必定产生振荡现象。若振幅逐渐变小至平稳，则经济稳定；反之若振幅逐渐变大至不可控制，则经济紊乱。

一、蛛网模型

设第i个周期商品数量为xi，价格为yi，i=1，2，3…。这个周期是指商品的1个生产周期，例如对苹果而言，其指的是种植周期。由于商品价格主要取决于商品数量，令yi=F（xi）为商品需求函数，图1中所示下降曲线为需求曲线。由于下个周期的商品数量xi+1取决于上个周期价格yi，令xi+1=H（yi）或yi=G（xi+1）为供应函数，这里G为H的反函数。图2中所示上升曲线为供应曲线。在图1中，需求曲线与供应曲线交于P0（x0，y0）点，称该点为平衡点，即数量与价格一直维持在该点不变。但实际并非如此，当商品数量变化到x1后，价格y1由函数F决定，继而产生点p1（x1，y1），以此类推，会产生系列点p2（x2，y2），p3（x3，y3），…。若按图1所示方向趋近P0，表明P0为稳定平衡点，即市场经济稳定。若其按图2所示方向远离P0，表明P0为不稳定平衡点，商品数量与价格振荡越来越大，即市场经济不稳定。图1与图2产生的形如蛛网的折线称为蛛网模型。观察图1和图2可知，在P0点当函数G斜率大于函数F斜率时，P0是稳定平衡点，反之即为非稳定平衡点。但是，这仅仅限于图像上观察，为了从理论上说明平衡点稳定条件，下面将差分方程应用到蛛网模型当中。

二、差分方程模型

在引入差分方程之前，先将供应函数做下改进，将决定商品数量xi+1前一周期的价格yi改为前两个周期yi和yi-1，这样可以体现生产者管理水平的提高，这里不妨取yi和yi-1平均值，即有Xi+1=H（yi/2+yi-1/2）。在P0附近用直线来近似曲线F和H，可将需求函数与供应函数近似为：

其特征根为λ1，2=（-mn±）/4。当mn>8时，方程有特征根位于单位圆外，所以此时P0点不稳定。当mn<8时，则有|λ1，2|=，为使得特征根位于单位圆内，必有mn<2，此时P0点稳定。综上可知，P0点稳定的条件为mn<2。相比前面直接从图形上观察，利用差分方程模型可以得到数值上的结论。

三、模型分析

首先，m的大小反映了消费者对商品需求的敏感程度，假如其为生活必需品，稍有不足，消费者必抢购，则m值偏大。假如为非必需品，若稍有不足，消费者心态平和并无较强购买欲，则m值偏小。n的大小反映了生产者对商品价格的敏感程度，假如生产者追求短期利益，价格略增即加大生产，则n值较大；反之假如其有生产规划，则n值较小。其次，当n固定，m越小，需求曲线越平滑，即消费者对商品需求不高，稳定条件越容易满足，则经济形式越稳固。当m固定，n越小，生产曲线越平滑，即生产者对商品价格不敏感，稳定条件也越容易满足，则经济形式越稳固。但当m、n都较大时，即生产者与消费者分别对价格与需求都很敏感，则稳定条件不易满足，经济不稳定。

四、经济不稳定时的干预措施

方法一，m值尽量小，不妨令m=0，则mn=0<2恒成立，这种方法实际上相当于抑制物价，无论商品多少，不予改变。

方法二，n值尽量小，不妨令n=0，则mn=0<2恒成立，这种方法实际上相当于保持市场商品供应平稳，商品过多，予以回购；商品短缺，予以调拨。

参考文献：

[1] 赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 埃莱迪.差分方程导论[M].北京：世界图书出版社，2013.

[3] 刘喜梅.经济数学[M].北京：中国铁道出版社，2008.

[4] 钱和平，徐清舟.数学建模融入经济数学中案例及分析大学数学[J].大學数学，2012，（3）：92-96.

[责任编辑 吴高君]