中考中有关“镶嵌”的几个问题的探究

王涛

在近几年的中考题目中，出现了部分涉及《镶嵌》的内容，现行课本中涉及的内容不是太多，结合“探索用哪些正多边形镶嵌（密铺）地面？”从正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形等中的一种或几种图形的拼接、镶嵌中，结合多年的教学实践，对这部分内容从两方面做了阐述，希望对同行有所助益。

中考“镶嵌”问题难点考点一、重难点分析

中考题目往往结合现实生活中的实际问题，比如，由用地板砖铺地引入镶嵌问题，后提问：为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发考生的思索，结合“哪几种多边形可以平面镶嵌”来切入考点。

笔者翻阅了前几年的教材，课本设计了有关《镶嵌》的一节课题学习的内容，教材通过提出：哪两种正多边形可以平面镶嵌？设问层层递进，不断引发学生探究欲望，激发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题的学习。因此，这部分内容的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌。

二、考点分析

从近几年的中考题目来看，这类题目多数出现在选择题或者填空题中，有时候也会以阅读理解的形式出现。在解题时要把握好以下两点：

一类：同一种多边形密铺

解题方法：在用同一种正多边形平铺时，若正多边形的每一个内角为m°，则用此正多边形实现平铺的条件是360m为整数，且此整数恰为该正多边形的个数。

例1.用正三角形能密铺吗？试说明理由。

解析：能，理由：

∵正三角形的每一个内角都是60°，而36060=60，

∴6个正三角形围绕在一点可以实现密铺。

例2.用正五边形可以密铺吗？试说明理由。

解析：不能，理由：

∵正五角形的内角和为（5-2）×180°=540°，每一个内角都是540°5=108°，而108°的整数倍得不到360°。

∴正五边不能实现密铺。

我练习，我收获：

1.能够实现密铺的正多边形是（）

A.正方形B.正五边形C.正七边形D.正八边形

2.某人到瓷砖商店去购买一种能实现密铺的瓷砖，不可能是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

二类：运用几种多边形密铺

解题方法：若要用多种多边形无缝平铺或镶嵌（密铺），则各个多边形相拼，内角和应为360°，且边长相等。

例3.用正方形和正八边形能实现密铺吗？说明理由。

分析：本题应该分别计算正方形和正八边形每个内角的度数，然后利用多个正多边形密铺的条件进行判断。

解：能，理由：

∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，每一个内角为1080°8=135°，正方形的每个内角为900。因此有135°×2+90°=360°.

∴能实现密铺。

总之，解决好这类题目，关键是要分清用几种图形密铺，除了上面的两条外，如果是只用一种图形的话，那只有正三角形、正方形和正六边形三种图形；如果用多种图形的话，特别要注意单独可以密铺的，结合时有可能不能密铺，相反，有些图形，单独不能密铺，而结合后却能够实现密铺。还要说明的是，对于单独的图形，除了同样的正三角形、正方形和正六边形能实现密铺外，任意同样的三角形、长方形、平行四边形、梯形也能实现密铺，主要还要用到平移、旋转的知识，这里不再赘述。

我练习，我收获：

3.一副美丽的图案，在某个定点处由三个边长相等的正多边形密铺而成，其中有两个是正八边形，那么另一个是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

4.已知一个正多边形的相邻的内角和外角的差为140°，问这个多边形能否单独镶嵌？如果不能，请说明理由。

答案：1.A2.C3.B

4.解：設这个正多边形的一个外角为x度，则和它相邻的内角为（x+140）度，所以有x+（x+140）=180，解得x=20，所以内角的度数是160°。

∵360160=2.25∴这个正多边形不能密铺。