函数与方程的思想在高中数学中的应用

陈少婉

函数与方程的思想是高中数学的基本思想之一，是通过建立函数或方程，运用函数的图像、性质等去分析问题，解决问题；更重要的是产生函数或方程的方法，能上升到思想高度主动思考问题.运用函数与方程的相互转化解决零点问题、构建函数解决不等关系问题与最值问题、利用方程的思想解决消参求值问题以及切点弦问题等等，是近年高考的热点和重难点.下面举例说明函数与方程的思想在高中数学解题中的应用.

一、零点问题中的函数与方程思想

函数的零点问题是近几年高考题的高频考点和重难点.许多函数问题要用方程的知识与方法来支持；许多方程的问题，需要用函数的知识与方法去解决.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，方程问题的函数视角就是利用函数的图像、性质来研究方程的根及范围问题.

1.1.与函数的零点或方程的根或函数图像的交点个数问题

例题1.1.（1）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）

A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 1个

综上所述，原方程有4个实根.

点评：函数零点问题的解题思路主要有两个方向，一是算出来，即利用方程求根，运用方程的思想求解，二是画出来，即转化为函数图像与轴的交点问题或者两个函数图像的交点问题，运用函数的思想以及数形结合的思想求解.在解题过程中，函数与方程相互转化.本题根据分段函数不同区间的特征，综合运用解方程、构造函数，讨论单调性等方法求解.

1.2求参数的值或取值范围问题

例题1.2. 已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R，若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个零点x1，x2求实数a的取值范围.

点评：运用函数的思想转化零点问题，构造的函数不同，解法也不同，但用到的思想方法是相同的，在解题中要注意函数与方程的相互转化.

1.3.借助零点，考查导数探究函数的性质

例题1.3. 设函数f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；

值范围，体现了函数的思想.解题时要注意自变量c的取值范围，即函数定义域的确定.

三、立体几何中的函数方程思想

函数方程思想不仅在代数解题中发挥着重要的作用，而且在立体几何中也有着巧妙的应用.在立体几何的动点问题、最值问题和逆向问题中，通常要运用函数与方程的思想求解.

3.1利用函数的图像及性质解决立几中动点的轨迹问题

例题3.1. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上. 过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（ ）

点评：本题是一道立体几何与函数图像相结合的题目，主要考查了函数图像的变化.由于题目中给出了自变量和因变量，如能求出函数解析式，问题即可获解.因此，可根据几何体的特征和条件分析两个变量的变化情况，通过M，N，P作底面的垂线作出M，N在平面ABCD内的正投影，保持其长度不变，从而把空间问题平面化，建立一次函數模型.

3.2利用方程的思想解立体几何逆向题

例题3.2. 如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.

（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；

（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.

解析：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（0，0，0），B1（3，0，6），D（0，6，0），D1（0，3，6），Q（6，m，0），其中m=BQ，0≤m≤6.

点评：本题是一道立体几何逆向题.通过设定变量m，λ利用二面角PQDA的余弦值为以及PQ∥平面ABB1A1的条件建立等量关系，求出变量m，λ的值，体现了方程的思想.

3.3运用函数的思想解决立几中的最值问题

例题3.3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.

解析：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为B（1，

总之，作为高中数学基础知识的重要内容，数学思想与数学方法属于教学中的重点，也是学生学习过程中的难点.通过思想与方法的学习能够真正理解数学的价值和意义.函数与方程的思想是高中数学的基本思想方法之一，也是高考的重中之中，是掌握许多数学知识的基础. 运用函数与方程的思想方法去解题，才举一反三，融会贯通，才能俯瞰题目，达到“一览众山小”的境界.函数与方程思想的运用在高中数学中无处不在，在解题中应注意体会，归纳总结，形成方法和能力.

责任编辑 徐国坚