整合教学内容实现有效复习

广东省广州市第97中学(510260) 林佳娜

整合教学内容实现有效复习

广东省广州市第97中学(510260) 林佳娜

中考数学复习不是简单的知识重复,而是再认识、再提高的过程.复习中的最大矛盾是时间短、内容多,学生之间的能力差距大.运用教学内容的整合,可以有效地解决这些矛盾.

林少杰老师指出:教材的内容从总体上看,有主次之分,枝干之别.因此,内容的提炼与整合应当成为教学设计的核心,削枝强干、优化结构应当成为教学设计的重点;教师应建立有效的课内技能训练系统,在每位学生都在完成适合自己的任务的同时,教师利用课内的其余时间,从讲台上“解放”出来,走到学生中去,充分利用“非线性主干结构”为不同的学生提供不同的“最近发展区”;教师要设计出适合于学生课内外研讨的问题系统,组织起有效的活动,发展学生的潜能.这些观点正是数学教育改革的需要.如今的数学教育就是“要建立以促进学生的全面发展为本的,以学科知识体系与人的认知结构的全面整合为中心的课程体系.”对于中考的数学复习,要求“尤其要抓好初中数学的核心内容(包括基本概念、定理、公式、法则等)的教学,不仅要重视知识和技能学习的落实,而且要让学生体会数学知识的发生、发展过程,把握蕴涵其中的的数学思想方法,领悟数学的精髓和本质.”因此,我们在中考复习中要充分实现学生认知经验、数学知识与社会发展需求的有机结合.这就要求我们要更好地把握教材、把握考纲,整合出有利于学生复习的教学内容.本文从系统论的观点,探讨复习整合的有效方法与策略.

一、关于整合教学内容的探索

系统论告诉我们:一个系统的功能不仅取决于它内部的要素,更取决于各要素之间的结构,具有良好结构的系统,往往会出现“整体大于部分之和”的效果.

对教学内容的整合,就是要把学科的工具类知识和非工具类的重点知识,整合为学习系统的主干.而对于学科的经验类、非重点内容,让学生在活动中形成经验和完善知识结构,教师只在适当时候点拨.

(一)整体知识的发散整合

数学里的各个概念、各个定理不是各自孤立,互不相干的,而是紧密联系、互相制约、互为因果的,并按数学的内在规律形成一个严谨的科学体系.对整体知识的复习,教师要根据教学内容的需要,提供给学生完整的、能够引起主动学习的任务.

1.搭架式.搭建一个“支架”,把系统归纳的责任还给学生.

比如,在一章的复习前,提出问题:本章书有什么知识点?各知识之间有什么联系?等等.要求学生自己去归纳,用自己的方式去建构知识序列.用自己的语言(可以是文字语言、也可以是图形语言)去描述所学的定义、定理、规则,并把它记录下来,然后给同组的同学看,他归结得对不对,有什么地方可以进行补充、修正.这样,在同学的互相指正下,完成对知识系统的整理.

2.主干式.在进行每章书的复习时,抓住知识的主干,把枝叶部分留给学生完成.

例如:圆的知识系统可以由两种途径进行复习:(1)抓性质——中心对称性与轴对称性,(2)抓关系——圆与各种图形的关系.复习时,把这两个线索抓住了,留给学生的是按图索骥.这可以最大限度地留给学生主动复习的机会.

3.主题式.对于具有整体效应的知识,在复习时提出来加以类化.

例如:初中代数中有很多“不等于0”的规定.这些规定往往是考题里面的难点.这些知识点包括:

(1)分式的分母“不等于零”.

(2)一元一次方程中的一次项系数“不等于零”.

(3)一元二次方程中二次项系数“不等于零”.

(4)函数中有关系数“不等于零”.

(5)等比性质中“不等于零”的规定.

这些问题要求学生自己去把它们挖掘出来,各自举出相应的例子,可以通过小组学习完成.

(二)局部知识的关联整合

“非线性”教学模式强调“循环向前”,学生对整体知识的认识是忽略细节与技巧,较为粗糙的,要使学生真正把握知识,就必须设计有效的对局部知识的强化训练.通过呈现问题,进行有效的训练,要求问题要具备以下特点:(1)目的性明确,有针对性;(2)有启发性,能启迪思维;(3)能活跃气氛,使兴趣加浓.在实践中,以下的呈现方式是比较有效的:

1.一串问题,一个知识

G.波利亚指出,学习解题的最好途径是自己去发现.在学习过程中,教师要为学生创造一个适合他自己去寻找知识的意境,使学生经常处于“愤”与“悱”的境地,引导学生去做力所能及的事.“一串问题,一个知识”就是让学生体验做力所能及的事的最好的方法.它主要用于处理重要知识点的不同侧面的理解与熟练运用上.比如:在复习“一元二次方程的根的判别式”时,给出问题:

例1:(1)写出一个两根之和是1的一元二次方程.

(2)写出一个两根之积是1000的一元二次方程.

(3)写出一个两根相等的一元二次方程.

(4)试写出k的值,使含未知数的方程x2+3x+4k=0在实数范围内没有解.

以上问题学生一看就会,一下子就能写出自以为正确的答案,例如:写出(1)的方程:x2−x+1=0.初看:是一元二次方程;根据韦达定理,两根之和是1.好象没有错.教师先不必点破,让学生把结果展现出来,给全班同学评判,这时学生间的一句:“这方程的根的判别式小于0,它根本就没有实数根”.学生恍然大悟,其他同学也会马上检查自己其他各题是否也犯了同样的错误.这比老师讲多少遍都有效.

2.一个问题(条件),一串知识

数学学习是一个特殊的认识过程,在数学学习活动中,学生需要具备一定的能力,而能力是有层次的,它从简单到复杂,从低级到高级,分阶段出现.提出一个问题(条件),串出一连串的知识.这是最容易检查学生的能力到达的层次,从而组织有针对性的强化训练的方法,这对于连带知识的复习很有效.

例2:已知:三点的坐标:(1,−4),(2,−3),(4,5).

(1)求经过这三点的抛物线的解析式.

(2)求出抛物线的开口方向,顶点A的坐标和对称轴.

(3)x取何值时,函数有最值,最值是多少?

(4)求抛物线与y轴的交点B的坐标.

(5)求抛物线与x轴的交点C、D的坐标.

(6)作出函数的图象.

(7)求△ACD和△BCD的面积.

学生看到这些题目,很容易就一步一步做下去了,学生做完了,二次函数的知识点也复习得差不多了.这时老师要及时总结、提升.关注学生哪些问题可以过关、哪些问题没有过关,并点明解题过程用到的知识和方法.如:这些方法包括:(1)用到待定系数法,(2)和(3)用到配方法,(4)和(5)用到方程思想,(6)和(7)用到数形结合思想.

借助于建构主义的观点,用“一串问题,一个知识”和“一个问题,一串知识”,有效组织学生的课堂技能训练,教师从讲台上“解放”出来,更多地去关注学生的学习困惑,为不同的学生提供不同的“最近发展区”,并给以最及时的引导和帮助.

(三)以数学思想方法为主线的整合

经常听到学生这样说:“我上课时,例题都能听明白,但自己做题就不会了”,“同例题类似的题,我会做,一变样就不会了”.究其原因是学生并没有真正理解例题的本质及掌握解法的实质.如果用数学的思想方法来指导解题,就能从根本上改变这种状况.复习中可以从以下方面进行数学思想方法的整合.

1.突出统帅作用的整合

就是要让学生认识到用数学思想的高度来总结学过的知识,好比用一根线把一串珍珠(知识点)连起来,既有条理,又不易遗忘.如:复习平面几何的“面积、勾股定理”这一章,要建立起各图形的面积公式之间的联系,找出本章的特殊思想方法“割补法”与“等积变形”,用这一思想方法概括,才能达到对知识整合的目的.

2.深刻领会细节的整合

就是要让学生体会数学思想方法在具体运用上的细微的差别.如:在解一元二次方程和求函数的最值及代数证明题都会用到配方法,但它们在运用上是有区别的,可以通过例题进行对比讲解,让学生明白它们之间的共同点与差别.

例3:(1)用配方法解方程:2x2+7x−16=0.

(2)用配方法求二次函数y=2x2+7x−16的顶点坐标.

(3)证明m不论取何值时,方程x2−2(m+1)x+4m−1= 0有两个不等的实数根.

同样是用配方法解题,(1)和(2)对二次项系数的处理就完全不同,而(3)用到配方法是比较隐蔽的,同时,用配方法是解此题的必经之路,需要自己的主动构造.

3.经历总结提高的整合

在中考复习进行到一定的阶段以后,要强化对以下几个数学思想方法的理解运用:

(1)等价转化的思想.转化是指化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体、化高次为低次、化复杂为简单的解题策略.任何数学问题都是通过数或形的逐步转化,从而揭示条件与结论的内在联系而使问题获得解决的.

(2)数形结合的思想.“数”与“形”是密切相关的两个数学表象,也是数学研究的两大对象.著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”在解题中把数与形有机结合是优化思维品质的有效途径.

求:k满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点.设这时两个交点为A、B,试比较∠AOB与90°的大小.

分析:问何时有两个交点,可以转化为联立方程,进一步用判别式得到.而判断角的大小,就必须通过画图,用图象帮助理解.两个函数:一个的图象是直线、另一个是双曲线.直线是明确的,过一、二、四象限,而求出的双曲线的k＜16,也就是k值可正可负,导致结果必须分类.

(3)运用方程的思想.简单地说就是利用已知条件构造方程(组)解题.

例6:如图,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的长.

分析:通过作BC边上的高,把图形分成两个直角三角形,列出方程,马上可以得解.

图1

(4)运用分类讨论的思想.分类讨论的思想在代数、几何的学习中是常见的,如一元二次方程根的判别式、一次函数的性质、两个几何图形的位置关系(点和直线、直线与直线、直线和圆)等.在解决数学问题时,当研究对象不惟一时,需要对可能出现的情况一一加以讨论,这种对事情分情况加以讨论的思想,复习时要注意对它的研究,要理解什么时候要分类,如何分类.

例7:试判断关于x的方程(m2−m−2)x2+2(m−2)x+1=0的根的情况.

分析:对字母系数的方程ax2+bx+c=0的解,在同一层次上存在两大类情况:a/=0和a=0.即:在m2−m−2/=0的前提下,即m/=−1且m/=2时,存在第二个层次的3种情况(判别式).在m2−m−2/=0的前提下,即m=−1或m=2时,第二层次中存在2种情况(m值不同,解也不同).

二、整合案例—–函数的复习

(一)整体分析:本部分的知识点包括:平面直角坐标系、常量和变量、函数概念、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数.结合复习指导书和初三代数教材,复习用5个课时:

第一课时:勾画本章的知识树(整体感知和建构).通过“平面直角坐标系”和“函数概念”熟悉对应思想.进行平面直角坐标系和函数自变量取值范围和求函数值的局部训练.

第二课时:求函数的解析式.熟悉对应思想—–能根据问题特点确定用哪种函数解析式.待定系数法的局部训练.

第三课时:各类函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数)的图象与性质,熟悉用方程的思想、数形结合的思想找出图象与某些图形(坐标轴或其他)的交点问题.进行求交点和图形面积的局部训练.

第四课时:数形结合研究二次函数的图象特点.熟悉配方法求函数的顶点坐标等.第五课时:函数知识的综合运用.

(二)一个课例:—–求函数的解析式

设计意图:这是初三复习课中,函数复习的第2节课.通过本节课的教学,希望达到以下几个目的:

1.通过函数解析式的求解,使学生熟悉掌握求函数解析式的几种方法.

2.理解待定系数法的实质,能够灵活运用待定系数法解题.

3.熟悉几类函数的对应关系,学会“对号入座”,从而培养学生良好的思维习惯.

教学过程:

1.提出问题,搭建支架

1.1 求函数的解析式的方法:

(1)待定系数法:先根据函数的类型,作出假设,设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子.

(2)图象信息法:根据图象中给出的信息,寻找相关的条件求解.

(3)题意与图形结合法:注意读懂题意和图形,挖掘隐含条件,按需要列式求解.

1.2 几种类型的函数解析式及其求法:

函数类型函数解析式求解条件正比例函数一次函数反比例函数二次函数一般式顶点式交点式

2.局部训练,关联整合

2.1 一串问题,一个知识—–待定系数法

练习:(1).若正比例函数y=kx的图象经过(−9,2),则正比例函数的解析式是____.

(3).若一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,−3),B(3,1),则解析式为____.

(4).一次函数y=kx+b的图象经过点(2,1)且平行于直线y=2x+3,这个一次函数的解析式为____.

(5).写出一个过点(0,3)的函数的解析式____.

(6).设二次函数图象的顶点坐标为(−3,3),且过点(1,1),则此函数解析式为___.

(7).写出符合下列图意的函数解析式:

2.2 一个问题,一串知识——函数解析式、自变量取值范围、图形面积;数形结合法等

例题:

已知直线y=6−x与两条坐标轴交于点A、B,点P(x,y)在线段AB上,点M的坐标是(4,0),△POM的面积为S.

(1)S与y具有怎样的函数关系?写出其中自变量y的取值范围;

图3

(2)S与x具有怎样的函数关系?写出其中自变量x的取值范围;(3)当点P的坐标为何值时,△PMB与△AOP的面积相等?

3.练习巩固,总结提高

3.1 小结:

求函数解析式时,要注意分清问题是否提供了函数的类型.如果有,按照类型进行假设,然后用待定系数法求解;如果没有,要注意审题,根据题意去寻找函数关系.

3.2 课堂练习:

(1).设抛物线交x轴于点(−1,0)、(7,0),且过点(3,−8),则此函数解析式为___.

(2).若直线y=kx+b的图象平行直线y=−2x+1,并与y轴交于点(0,4),则这条直线的解析式是___.

(3).如图,在△ABC中,∠C=90°,P为AB上一点,且P不与点A重合,过点P作PE⊥AB交AC边于E点,E不与点C重合,若AB=10, AC=8,设AP的长为x,四边形PECB的周长为y,求y与x之间的函数关系.并求自变量x的取值范围.