在探究中培养学生抽象概括能力

甘小生++李朝晖

抽象和概括是两种常用的数学思维方法，数学概念、原理、命题的形成都需要进行抽象与概括。小学数学学习的一个重要特点就是在形象思维的基础上，逐步培养学生的抽象概括能力，这样有利于学生正确理解掌握数学概念，并能运用概念形成恰当的原理、命题，进行合乎逻辑的推理。下面结合“人教版”《数学》四年级上册《平行与垂直》的教学，谈谈如何培养并提出小学生的抽象概括能力。

一、获取自然的数学原型，提供必要的抽象素材

抽象是透过事物的表象获得事物的内在联系和本质属性。教学中，应尽量为学生提供有代表性的材料及必要的变式情境，充分调动学生的多种感官，让学生善于从诸多表象中发现它们的共同属性。教学时，笔者先让学生在一张长方形纸上任意画两条直线，要求分别画出几组形状和位置不同的图形。通过操作学生感受到在同一平面内的这些图形都由两条直线组成，初步建立同一平面内两条直线位置关系的表象，为后面深入学习两条直线间位置关系的差异性与同一性提供一个探究平台。

二、探究内在的共性特点，掌握常用的抽象方法

看似非常复杂的抽象过程都涉及比较和区分、舍弃和抽取四个环节。其中比较和区分就是确定研究对象的共同点和不同点，它是抽象的基础。舍弃和抽取是在比较和区分的基础上，舍弃掉研究对象次要的、非本质的因素，抽取研究对象中我们需要的某些最本质的特性。笔者在执教《平行与垂直》时，挑选能呈现各种典型情况的学生作品（如图）展示在黑板上，再让学生按照一定的标准分类。

学生先独立思考，然后将分类情况进行交流。刚开始出现了以下几种分法：

第一种，分为两类——相交的一类（图1、图2、图3、图4、图6），不相交的一类（图5、图7）。

第二种，分为三类——相交的一类（图1、图4、图6），快要相交的一类（图2、图3），不相交的一类（图5、图7）。

第三种，分为四类——相交的一类（图1、图4），快要相交的一类（图2、图3），不相交的一类（图5、图7），相交成直角的一类（图6）。

不同的分法反映了不同层次的学生认知体验的真实性，也为更好地理解与掌握平行的本质特征提供探究方向。此时，笔者问：直线有什么特点？学生答：直线无限长，可以向两端无限延长。紧接着，笔者让学生把快要相交中的两条直线向两端延长试一试，看它们能否相交？

最后，学生在动手操作、交流讨论后达成共识：图2、图3中快要相交的两条直线延长后实际上是相交了，图6中两条直线相交成直角实际也是相交的，只不过是相交中的一种特殊位置关系。对于第三种分类方法，前面是根据两条直线是否相交的标准来分类的，可是相交成直角是按照两条直线相交后所成的角度来分类的，前后标准不统一。经过反复比较、区分、舍弃，最终将图分成了两大类，即相交的一类和不相交的一类。

三、提炼简明的数学本质，学习简单的概括方法

数学概念、原理是极度抽象概括的，教师必须在学生积累感性认识、掌握研究对象本质属性的基础上，及时引导学生用完整、准确、简洁、严密的数学语言表述出来或用数量关系式（公式、符号）表达出来。

教学中，笔者分别尝试用以下几种不同方法引导学生进行概括：

巧设问题，培养概括的逻辑性。在学生对两条直线的位置关系分类达成共识后，笔者告诉学生，像图5、图7这样的两条直线在数学上叫平行线，并提出问题：你能给平行线下个定义吗？同时，设计以下问题引导学生思考：平行线是几条直线间的位置关系？这两条直线是在几个平面內？两条直线是永不相交，还是看似不相交？

补充句子，培养概括的完整性。小学生用规范的数学语言对研究对象的属性进行概括的能力还不够强，教师有必要设计句子补充练习，帮助学生完整地进行概括。教学中，笔者设计如下扩充句子练习：在同一平面内， 的 直线叫做平行线，也可以说这 直线互相平行。

选词填空，培养概括的准确性、简洁性。数学概念、原理、命题都是用简洁、准确的数学语言叙述的。教学中，通过挑选词语，帮助学生学会准确用词。为了让学生正确理解和掌握平行线的本质特征，可设计一道选词填空题：在同一（ ）内（长方形、平面），不相交的（ ）直线叫做平行线（一条、两条），也可以说这两条直线（ ）（平行、互相平行）。

列举反例，培养概括的严密性。根据以往教学经验，对于平行线的定义，学生容易忽视限制条件“在同一平面内”。教学中，必须适时列举学生比较熟悉的实际生活中两条异面不相交的直线，同时，课件出示下图辨析，让学生明白“在同一平面内”是两条直线互相平行不可缺少的前提条件。

符号表示，培养概括的简捷性。数学符号在数学中不仅是非常重要的一种语言，也是研究数学的工具。数学符号具有抽象性、明确性、可操作性、简明性和通用性。符号的使用是学生进行数学思考和数学表达的重要形式。在学生认识了平行线的本质属性并能用语言概括后，笔者出示下图，向学生介绍用符号表示平行线的方法：图中直线a与直线b互相平行，用符号“∥”来表示平行，a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。

四、拓展新的属性特征，培养学生有层次的抽象概括

数学中有些概念是在已有的抽象认知基础之上再次进行抽象概括形成的，较好地体现了抽象概括的层次性和深刻性。《平行与垂直》就是很好的教学范例，在学生理解了平行的本质特征后，笔者让学生观察相交的情况，思考：“你发现相交图形中的角有什么特点？”使学生关注“相交所成角”这一属性。学生仔细观察后发现：两条直线相交都形成了四个角，有的是锐角，有的是钝角，还有一种比较特殊，四个角都是直角。为了让学生获得更清晰、更严密的认识，笔者请学生用学具量一量，验证相交后成直角的现象，进而让学生抽象概括出互相垂直的概念，即“两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”。接下来，出示下面三幅图，让学生观察、比较它们有什么相同点和不同点，从中能发现什么。

学生通过观察、比较、讨论，得出：垂直的关键要素是两条直线相交是否成直角，与直线摆放的方位无关，也就是说怎样摆放是非本质属性。

以上教学帮助学生克服了思维定势，养成了严谨的学习态度，学会了科学的探究方法。

抽象与概括是小学数学中常用的两种思维方法，教师要充分估计学生学习中可能出现的问题，设计好教学活动，教给学生必要的抽象概括方法，适时引导点拨，培养和提高学生的抽象概括能力，同时，避免思维定势，增强学生思维的深刻性。