数学抽象概括能力培养的理性思考

刘小宝

数学是对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，是研究数量关系和空间形式的科学。数学教学是指数学思维活动的教学，而数学思维能力中最重要的就是抽象概括能力。那么，究竟如何解读数学的“抽象概括”？如何培养小学生的数学抽象概括能力呢？下面就分别从以下三个方面进行阐述。

一、关于数学“抽象概括”的解读

数学的抽象和概括是形影相随的一对概念，有数学抽象，就必然少不了对抽象的数学“概括”。数学抽象概括是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工以提炼出其共同的本质属性，并用数学语言表达，进而形成数学理论的过程。

数学抽象概括在数学教学的过程中无处不在。任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要用到抽象概括。如“人教版”《数学》四年级下册（以下同版本教材只标明年级和册数）对三角形概念的引出与定义，是由建筑脚手架、自行车的三角架、红领巾等学生常见的生活中的三角形直观引入，然后抽象得出数学意义上的三角形，再来引导学生用数学语言概括出三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

数学抽象概括是有层次的，数学的发展呈现出逐步抽象的过程。例如，数的发展，从结绳计数得到1，2，3……等有限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成了无限的正整数序列：1，2，3……n……在此基础上形成了正整数集合N；再如，整数→小数→分数→有理数→实数；又如，算术中的数（1等）→代数中的常量（a）→变量（x），体现的都是数学抽象概括的层次性。

研究表明：小学低年级的学生尚处于直观形象的概括阶段。他们需要建立在丰富的感性材料基础上，并运用直观形象的语言来描述事物的特点；小学中年级处于是从直观形象向抽象概括的过渡环节，学生能够初步分清观察对象的主要和次要、本质和非本质的属性，逐步接近科学的概括，初步形成概念的系统；小学高年级学生已经具有初步的抽象概括能力，能够对所学知识的本质特征和内在联系进行抽象概括，能比较科学地对所学的概念进行定义。但限于学生的知识水平、思维能力，即使是小学高年级的学生在抽象概括方面仍需要一定的感性材料和已有的经验作支撑，没有一定的感性材料为基础，任何抽象化或形式化皆无助于学生抽象概括能力的培养。

抽象概括在数学中无处不在，但是在到处是情境的数学教育时代，往往容易被忽略。在执教一年级上册《10的认识》时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具帮助学生认识到9添上1是10，然后再进一步学习10的组成及加减法，没有引导学生思考：10与前面学习的0～9这些数有什么不同？这里实际上隐含一个非常重要的思想方法——数学抽象，它比8和9的抽象水平更高。因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象，它还体现了十进位制计数原理的存在。

二、如何培养小学生的数学抽象概括能力

为培养学生抽象概括这一高层次的数学思维能力，笔者认为可以从以下两方面入手：

（一）以数学核心概念为载体，体现“具体→抽象→具体”的认知过程？

首先，从整体上把握数学核心概念的体系。对于一个数学概念，学生要先认识其特殊、具体的形式，从具体、感性的认识逐步过渡到对概念本质的认识，然后再运用概念解决问题，起到巩固和应用概念的作用。但是，对这个问题的理解和认识不应该局限在某一节概念教学课上，也不应该孤立地看待教学过程的各个环节，而是应该用普遍联系的观点，把一个（或一组）具有完整意义的概念作为一个整体，从普遍联系上认识其形成的规律和教学中应采取的对策。这就要求教师从总体上把握教学目标，从整体上确定教学方法。这样学生就能在概念的形成过程中逐步养成抽象概括的思维习惯。

其次，引导学生反复感知、由表及里揭示概念的本质。数学概念往往是以文字形式描述出来的，较为抽象，学生难以理解，这就需要教师在概念教学中适当引导学生反复感知，启发他们由表及里去揭示概念的本质，架起“生动的直观”到“抽象的概括”的桥梁，促进他们全面正确地理解概念的本质，洞悉概念的内涵和外延。以五年级下册《分数的意义》教学为例，教师除了要充分利用学生在三年级学习《分数的初步认识》时积累的感性经验外，还要让学生利用学具动手操作，把一个长方形平均分成2份，把一个圆平均分成3份，把一条线段平均分成5份，分别表示其中的1份；接着，让学生把一个长方形平均分成3份，把一个圆平均分成5份，把一条线段平均分成7份，分别表示其中的2份、3份、5份；然后，再用课件演示——把4个苹果、6面红旗各看成一个整体，分别表示它们的[14]、[13]。在此基础上引导学生抽象概括出“单位1”“平均分”“若干份”的意义，进而概括出分数的意义。

最后，引导学生逐级抽象，提高概括水平。数学知识是抽象概括的产物，具有逐级提高、逐步深化的特点，数学抽象概括能力的培养，必须循序渐进。在平时的教学中，教师要有意识地从教材和学生的实际水平出发，引导学生由浅入深，由低级到高级逐步进行抽象概括，逐步提高学生抽象概括的水平。例如，在教学《三角形的特性》时，教师可以先利用课件出示直线、射线、曲线和线段，引导学生复习它们各自的特征；接着出示圆和三角形，让学生在观察比较中找出两者的区别——圆是由曲线围成，而三角形是由线段围成的，完成初步抽象；此时让学生试着概括三角形的概念，当有学生把其概念概括为“由三条线段组成的图形是三角形”时，教师不要急于纠正，可以适时地利用课件给他们提供一些反面的素材（如，某两条线段不封口或交叉等），让学生在否定对比的过程中得出三角形的正确含义；最后再来列举生活中的三角形。这样，按照“图形→围成图形→三条线段围成的图形→每相邻两条线段的端点相连的三条线段围成的图形”这一次序，由淺入深，逐级抽象出三角形的概念。这是一个由“直观概括→具体形象概括→形象抽象概括→本质抽象概括→具体化”的过程。随着抽象概括进程的不断深入，学生的抽象概括能力也在不断提高。

（二）以数学知识运用为主要手段，突出迁移训练和对比训练？

学生数学核心素养及能力的形成，是在教师的指导下，通过严格的训练逐步积累起来的。有意识地对学生进行的迁移训练，是提升学生抽象概括能力的有效途径。

此外，数学教学中的对比训练是培养学生数学素养和知识运用能力的有效手段和方法。某些数学问题的解决，初看有多种解题思路或解题方法，但有的解题思路和方法在实际解题过程中相当复杂，有的则简单易行，这就需要教师有意识地引导学生去发现、抽象、概括，通过一道题，找到最佳的解题路径，打通一类题。

三、教学中的几点建议

不能抛开教材“闹革命”。数学本身具有高度的抽象性，教师只有结合具体的教学内容，充分地挖掘教材可以培养抽象概括能力的因素，在传授知识的同时，有计划、有目的地进行能力培养，才能切实地帮助学生学会抽象概括的方法，养成抽象概括的习惯。

不能学习“哑巴”数学。语言是思维的外壳，数学的学习离不开思维的碰撞，更离不开语言的交流与表达。在培养小学生初步的抽象概括能力的同进，切不可忽视学生数学语言表达能力的培养。因为没有正确、清晰的表述，就不可能抽象地概括出明确、清晰的数学概念。

注重学习兴趣、信心的培养。数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考。学生学习兴趣、信心是影响学习效率、效果最主要的因素，它们牵动着学习的各个环节：学习兴趣浓→主观能动性强→学习效率高→成绩好→信心更足→兴趣更浓，从而形成良性循环。因此，数学教师要善于激发学生学习数学的兴趣和热情，为学生营造具有竞争意识、创新意识的氛围，让学生在学习中真正体验到数学学习的成功感，分享学习的乐趣，变被动学习为主动学习。