引导学生从感性认识走向理性认识——《长方形再认识》教学思考与解读

邵爱珠

图形的认识是“图形与几何”部分的主要内容之一，主要包括空间和平面基本图形的认识这两个部分。基于学生不同年龄段对于空间感知力和认知力的强弱，很多图形的认识都是分阶段循环编排的，那么“再认识”与“初步认识”有什么不同？又该如何进行“再认识”教学呢？这是值得我们深入思考与探究的。据现有的资料显示，国内现行的几套教材在“图形的再认识”时，都不约而同地选择以“长方形”作为研究对象，下面就以《长方形再认识》的教学为例，谈一些自己的思考。

一、如何理解长方形的“再认识”

1.通览教材编排之序。

以人教版为例，从整体编排序列看，长方形的“初步认识”放在一年级下册《认识图形（二）》，这里第一次出现长方形、正方形等平面图形，要求能直观辨认，也就是能通过整体轮廓辨认长方形或正方形，在这个阶段只要让学生直观判断就可以，一般不要求学生判断后说明理由。长方形的“再认识”则安排在三年级上册教学四边形的认识后，教学长方形和正方形的特征，要求由表象探索实质，通过探究发现、归纳出特征：“长方形的两组对边相等，四个角都是直角”，并能根据特征进行判断。

2.深究学生发展之理。

长方形再认识是基于第一次初步认识之上进行的，那么知识的增长点在哪呢？荷兰学者范希尔夫妇将几何思维水平划分为五个层次：视觉水平、分析水平、非形式化演绎、形式演绎水平、严密性水平。由此来看，“初步认识”基本属于“视觉水平”，直观辨认即可；通过“再认识”，引领学生对长方形、正方形要走向“分析水平”的认识，仅凭看到的信息是不够的，需要分析和推理，建立明确的概念特征，以便作为判断的基础，对图形的认识由表象提升到了图形本质。

3.细品教学目标之度。

《数学课程标准》指出：图形认识的内容安排体现了从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部的特点，目标要求循序渐进、逐渐提高。遵循这样的要求，对于不同年级的教学目标也有不同的设定。从图形之间的关系来看，在“初步认识”阶段，只要理解长方形和正方形是两个并列关系的概念，而“再认识”时，则需要理解正方形是特殊的长方形，也就是两者之间是从属关系。

二、长方形再认识如何教学

1.唤醒旧知，追问中揭示新课目标。

【教学片断一】

出示一组平面图形：

提问：这些图形有什么共同特征？（都有四条边四个角）请从图中找出长方形或正方形。

师：我们以前就已经认识了长方形和正方形，今天还要继续研究。那么你想研究长方形和正方形的什么知识呢？

提示：已经知道长方形（或正方形）有四条边四个角，进一步可以思考的问题是：“边”还有什么特点？“角”还有什么特点？

长方形的再认识是建立在初步认识基础上的，从一些四边形中找出长方形或正方形，这对学生来说并不困难，一方面唤醒他们原有对长、正方形直观判断的经验，另一方面帮助他们回忆四边形的特征，得到“四条边、四个角”，引导学生明确研究图形的思路，可以从“边”与“角”去考虑。

美国认知教育心理学家奥苏贝尔认为：要完成有意义的学习，必须具备的条件是学习材料本身具有逻辑意义，学习者认知结构中具备适当的知识基础。因此教学一开始的设计，通过对已有知识的回顾与追问，提出了新课的目标，也让学生初步感知长方形、正方形与四边形之间的从属关系，为后续教学的展开做知识上的准备。

2.动手操作，探究中发现图形特征。

【教学片断二】

（1）为每位学生提供一个长方形和一个正方形，并提供三角尺等工具。

请学生选择一个图形，用自己的方式探索图形的特点。（教师巡视，并个别辅导）

（2）以四人小组为单位，交流各自的发现。

（3）反馈交流：

①对长方形“边”的特征的研究：有什么新的发现？

通过量一量、折一折的办法验证长方形两组对边分别相等。

②对长方形的“角”有什么新的发现？

用三角尺上的直角比一比，验证四个角是否是直角。

三年级开始，学生对图形的认识从“直观辨认水平”发展为“依据特征的初级概念判断水平”，因此长方形再认识的教学要突出图形特征的研究。

在探究长方形“边”的特征时，学生主要通过两种方法操作：一是度量，二是对折。度量当然是好方法，通过量一量，能清晰的看到两组对边分别相等，但是度量的误差不可避免。对折的方法学生并不陌生，凭借已有的折纸经验，能自然想到用折一折的方法。对折是“几何变换”（实际是对称变换），运用几何变换的方法来认识，是以后学习其他图形特征的重要思想方法。

探究“边”的特征用了这两种方法，“角”的特征研究也经历了这两种方法。虽然学生还不会用量角器度量长方形的角，但借助三角板上的“直角”也能度量角的大小（大于、小于或等于直角）。通过比一比，学生发现：长方形的四个角都是直角。当然也可以通过折一折的方法，发现四个角都相等，都是直角。

3.分类尝试，迁移中渗透研究方法。

【教学片断三】

（1）梳理探究方法：回想一下刚才的探究过程，我们是怎么研究长方形特征的？

小结：我们对一个图形特征的研究，是从角与边这两个方面来进行的，通过量一量、折一折、比一比等活动，我们发现长方形边的特征：有四条边，形成两组对边，这两组对边分别相等；有四个角，四个角都相等，四个都是直角。

（2）用上面归纳出来的研究方法再次研究正方形。

（3）请学生介绍：对正方形有什么新的发现？

重点指导：从角与边两个方面研究，在折一折的过程中，不仅需要上下对折、左右对折，还需要引导学生沿对角线对折，从而发现：正方形不仅对边长度相等，而且邻边的长度也相等。

（4）梳理小结：通过验证我们发现正方形四条边一样长，有四个直角。

再认识的教学，除了对知识点的提升，还应在思想方法上有增量。因此，在这一环节完成后，要及时梳理探究的方法：是怎么研究长方形的特征的？这里，除了要归纳出从角与边两个维度去研究（包括角的数量、角的大小、角与角之间的关系；边的数量、边的长短、边与边之间的关系），还要渗透从一般到特殊的研究意识，为后续图形认识积累研究经验。

纵观每一套教材，在长方形、正方形再认识时，都设计了类似数一数、量一量、折一折等操作活动，意图是让学生经历从具体形象操作中感悟图形特征的过程。因此教学中，要给学生充分的探索时间和空间，在自主探索、动手操作、交流讨论中发现图形的特征，提炼研究方法。

4.多维比较，辨析中凸显判断依据。

【教学片断四】

（1）辨一辨：下面图形是长方形或正方形吗？为什么？

图1

图2

图3

图4

先独立判断，再四人小组讨论交流，之后全班交流。

追问：①图1看上去斜斜的，为什么是长方形？

②图2也有两组对边相等，为什么不是长方形？

③图3有两个直角，为什么不是长方形？

④图4的四条边都相等，为什么也不是正方形？

（2）分析比较后，小结得出：

在判断图形时，不能仅凭观察就下结论，需要根据长方形或正方形的特征来判断；另一方面只关注“边”的特征或者“角”的特征，也不能准确判定是什么图形，而是需要同时从“边”和“角”两个维度去关注图形特征。

这里呈现的四个图形各有特点：图1是不在水平位置上的长方形、图2两组对边相等、图3有两个直角、图4四边都相等。对学生来说，这些图形边与角的特征都非常具有迷惑性。通过比较、辨析，使学生清晰：学习了今天的知识以后，判断一个图形是不是长方形（或正方形），就要用特征来说理，而不是只凭“看看”；要判定一个图形是不是长方形（或正方形），要同时关注“边”和“角”的特征，也就是要说明它符合长方形或正方形的所有特征，而说它不是，则只要举出一个不符合特征的地方即可。

我们在梳理教材时不难发现，教材中所提供的例子往往都是“标准式”的，如果是几何图形，那么其中一条边基本都在水平位置，这样安排有利于对概念的正面建构。因为学生必然要先接触标准的例子才能更好地为建构概念服务。但如果我们止步于此，为学生提供的素材都是标准式的话，学生对概念理解难免出现片面性。利用变式图形，可以使学生透过现象看本质，排除非本质属性的干扰，抓住图形本质属性进行判断，更好的掌握图形的概念。

5.运动联结，思辨中感悟图形联系。

【教学片断五】

（1）信封里装的是四边形，猜一猜可能是什么形状的？说说你是怎么判断的？

提示学生需要用图形的特征、有理有据进行判断。

如：这个四边形已经有两个直角，如果还有两个直角，那么这个四边形就是长方形；

如果这个长方形继续往外拉，当四条边都相等时，就变成了正方形；当然继续往外拉，又变成了长方形。

（2）用16根同样的小棒摆一个长方形，你有哪些摆法？

①学生在独立思考、动手操作基础上，全班交流、整理得到所有摆法：

长边摆7根，宽边1根；

长边摆6根，宽边2根；

长边摆5根，宽边3根；

每边摆4根。

②观察发现：用16根同样的小棒摆一个长方形，有四种不同的摆法，其中长边和宽边都摆4根时，就变成了正方形。因此，可以说：正方形是特殊的长方形。

这两题都是基于长方形特征设计的练习：

猜信封里的图形，要求学生能利用特征进行图形辨析。一方面能用规范的数学语言描述、判断图形，进一步巩固长方形的特征；另一方面将信封里的长方形往外拉的过程中，使学生感悟到：当长方形的长边与宽边相等时，这个长方形也就是正方形；继续往外拉，又变成了长方形。设计的意图是通过运动，在猜想、验证的过程中感悟长方形与正方形之间的联系。

用16根小棒摆长方形，是一道开放题，既是对长方形特征的巩固、同时渗透了变与不变的函数思想，也为后续长方形周长计算做知识上的准备。

在学生已有的知识经验中，图形都是孤立地、并列地呈现的，通过这节课的研究与学习，从四边形的边、角特征出发，探究长方形、正方形“边”与“角”的特征，经历从概念的角度分析图形的过程，体会数学的逻辑性；同时还要教学长方形与正方形之间的关系，要从直观认识阶段的“并列关系”到现在再认识阶段的“包含关系”，这是学生认识上的进一步发展。

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）