解三角形起始课

高磊+李大永

教学内容蕴含的数学思维活动分析：

正、余弦定理是由初中对三角形的定性研究为主转向定量化研究发展出的知识。在初始阶段的定性研究中，学生通过对两个三角形的全等与相似的研究，已经能够建立起确定三角形形状与大小的要素构成的直观想象。几何学研究的是空间形式，空间的基本概念是位置，几何学中用点来标记位置，因此，三角形的空间存在形式本质在于三个顶点的位置关系，而顶点的位置关系是以“角”和“边”的概念来共同描述的，“角”的要素反映了三角形的形状，而边长确定了其大小。三角形判定是以三個基本事实ASA，SAS，SSS从不同角度来揭示三角形的形状与大小的。在ASA中，已知两角，就意味着三个角确定，即三角形形状就确定了，再给出一边，确定了其大小和形状；在SAS中，本来一个角的大小仅能反映三角形的局部形状，但是两条边的长度使两个顶点的位置得以确定（这两个顶点被角和距离确定了）；在SSS中，边确定了三角形的大小，但是形状是如何确定的呢？实际上，共点两边构成了“角”的图形，第三边起到了确定角的作用（实际上，在数学史上，托勒密就是在圆中用圆心角所对的弦长来度量圆心角的大小），这种用线段长确定角的大小的思想在高中建立弧度制概念中还会用到。

在初中阶段，对图形的定量研究在直角三角形中得到初步体现，勾股定理和锐角三角函数都是量化思想下发展出的成果，这一成果体现了直角三角形在“边”“角”要素上的量性规律。

学生思维基础和思维障碍分析：

高中阶段要学习的正、余弦定理，即一般的三角形的边、角量性规律的发现已经蕴含在初中对三角形的定性研究中，仅需要一定情境的诱导和激发。而揭示并表达出这一量性规律的知识、技能和思维方法也蕴含在了初中的直角三角形以及高中的平面向量和解析几何的学习之中。上述这些内容蕴含的思想方法和思维活动经验构成了正余弦定理学习的思维基础。

学生本节学习的思维障碍主要集中在发现获得三角形的边、角关系的量性规律的途径与方法。因为学生学习的思维基础都存在于以往学习的相关知识之中，所以教学的关键就在于引导学生进行以下几个问题的思考：

首先是理解问题“由已知的边、角要素的数量求出其余边、角要素的数量”实质是求距离（边长）和角的问题，依次去回忆并调取与之相关的知识。

其次是比较发现在ASA，AAS，SAS，SSS中，哪一个更容易和相关的知识建立联系，其余的边、角要素中，先求哪一个更容易实现。