刍议平衡物体中极值问题的解法

李庆林

在研究物体的平衡时，经常会遇到求某物理量的极值问题，这样就会涉及到平衡物体的临界问题，解决此类问题的基本思维方法是假设推理法，即先假设条件成立，从而把比较隐蔽的临界條件或各种可能性“暴露”出来，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解.

求平衡物体的临界和极值问题的一般方法，主要有以下几种

一、解析法

在数学上有这样一个重要不等式关系：对两个非负数a和b，有a+b2≥ab，由此得出结论：

若a、b之和为一定值，仅当a=b时两者之积最大；若a、b之积为一定值，仅当a=b时两者之和最大.在高中物理习题中有很多的极值问题用此结论来解决非常便捷.图1

例1 如图1所示，将摆球质量为m，摆长为L的单摆由水平状态开始下摆，在到达竖直状态的过程中，摆球所受重力的瞬时功率如何变化？何处取得最大值？

解析 摆球所受重力的瞬时功率用重力G和重力方向的速度υy的积表示，即P=Gυy ，摆球由水平状态开始下摆时初速度为0，重力的瞬时功率固然为0，当到达竖直状态时，速度最大，但方向沿水平方向，竖直方向上速度为0，故重力的瞬时功率为0，由此可见，摆球由水平状态开始下摆，在到达竖直状态的过程中，摆球所受重力的瞬时功率先从0增大再减小到0，在此过程中重力的瞬时功率必存在一最大值.那么在何处取得最大值呢？不妨设θ为摆线与水平方向的夹角，此时摆球速度为υ.

点评 本题讨论了小球摆动过程中的瞬时功率问题，利用三角函数展开讨论是一种重要的常规方法，在三角函数的处理过程中，巧妙地利用数学不等式原理能快速的求解其极值问题，并澄清了一种“想当然”的误区：以为在θ=45°对称位置处出现极值.

二、三角函数法

点评 三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一，该方法在物理问题解决中有着较为广泛的应用价值.根据物理问题用三角函数列出方程后，将三角函数中的自变量进行配角整理化成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值.当得出的式子不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化，利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含有单个三角函数的式子，然后利用单个三角函数的性质解决问题.三、图解法

图解法也叫图形法，是一种利用几何图形解决物理问题的方法.解答共点力的平衡问题，动态平衡问题，常用图解法.基本法则有平行四边形定则，矢量三角形法则等.图解法的优点是简捷，方便，直观.可以化繁为简，化难为易，提高解题的效率.

用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：

① 当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直.如图3甲所示，F2的最小值为：F2min=Fsinθ.

②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图3乙所示，F2的最小值为：F2min=F1sinθ.

③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F-F1|.

例3 如图4所示，半径为R ，质量为m的均匀球体紧贴竖直墙壁放置，在球体的左下方有一厚为h的木块（h

解析 球体脱离地面的临界条件是对地面的压力恰好为零，此时所需要的力F最小，隔离球体受力分析如图5甲所示，再以木块和球体组成的系统为研究对象，易知：F = N2 .可见，求F的极小值实际上就是确定N2的极小值，将图示中球体所受的三力平移组成一个矢量三角形，如图5乙所示，由三角形相似原理，有：N2AB=GOB，即：N2R2-（R-h）2=GR-h.

∴ N2=h（2R-h）R-hmg，即：最小的推力F=h（2R-h）R-hmg.

点评 本题考查了力学中的临界问题，为求解球体脱离地面时水平推力的最小值问题.解析采用了力学中的矢量三角形定则，把问题转化为矢量三角形的构成的临界条件.矢量三角形解题是一个比较方便直观和计算小的方法，而矢量运算始终贯穿整个高中物理学习过程，掌握好矢量三角形在解题中的应用技巧，将使学生掌握一种解决矢量问题的重要方法和手段.

综上，应用数学处理物理问题的能力是高考考查的能力之一，灵活地运用多种数学方法求解物理的极值问题，是中学物理问题中的一个重点，也是难点，因此在平时的训练中，数学思想的渗透是非常重要的.