例析四面体中关于“棱”的问题

2017-03-30李汇宇

中学生理科应试 2017年3期

李汇宇

中学立体几何主要任务是研究空间点、线、面、体的位置关系和度量.“棱”是属于线的范畴，又是多面体的重要构成元素，在一些试题中，命题教师比较看重“棱”的功能，在四面体中不惜重墨宣染，将有关棱的问题演绎得淋漓尽致，使这些试题富于探究性、挑战性，能考查学生灵活运用知识解决问题的能力，所以在高考、自主招生和数学竞赛中经常出现，笔者在老师指导下，收集高考复习时资料中出现的题目，剖析如下，与同伴们分享.

一、由棱长求四面体个数问题

例1 （2007年浙江省数学竞赛题）以1，1，1，2，2，2为六条棱长的四面体个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.6

解析以这些边为三角形仅有四种：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，2），（2，2，2）.

固定四面體的一面作为底面：当底面的三边为（1，1，1）时，另外三边的取法只有一种情况，即（2，2，2）；当底面的三边为（1，1，2）时，另外三边的取法有两种情形，即（1，2，2），（2，1，2）.其余情形得到的四面体均在上述情形中.由此可知，四面体个数有3个，应选B.

二、关于棱所成的角

例2 （2008年吉林省数学竞赛题）有六根细木棒，其中较长的两根木棒长分别为3a，2a，其余四根均为a，请你用它们搭成三棱锥，则其中的两条较长的棱所在的直线所成角的余弦值为（）.

A.63 B.0

C. 0或63

D.以上答案皆不对

解析由于6根木棒中有两根与众不同，对它们所在位置要合理分类讨论，做到不重不漏：（1）当长分别为3a，2a的两根木棒在同一个面内时，如图1，不妨设AB=AC=AD=BC=a，CD=2a，BD=3a，可得BD、CD所成角的余弦值为63；（2）当长分别为3a，2a的两根木棒为四面体对棱时，如图2，不妨设AB=AD=BC=CD=a，AC=2a，BD=3a，取AC的中点E，连BE，DE，则AC⊥BE，AC⊥DE，所以AC⊥面BDE，进而AC⊥BD，从而它们所成角的余弦值为0，但由于此时BE+DE

三、关于棱长的取值范围

例3 （2012年重庆理9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（）.

A.（0，2） B.（0，3）

C.（1，2） D.（1，3）

图3

解析如图3，将长为a的棱看作橡皮筋一样可以伸缩，也即两个三角形△BCD、△ACD可绕CD边转动，从两个极端看，当A、B快重合时，a接近0，当两三角形平面成以CD为棱的1800平面角时，a就是边长为1的正方形对角线长，此时a为2，故选A.

例4 （2010辽宁理数12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）.

A.（0，6+2） B.（1，22）

C. （6-2，6+2）D. （0，22）

解析根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥的铁架，有以下两种情况：（1）底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图4，取BC中点D，连结SD、AD可知AD=3，SD=a2-1，在△SAD中，则有2-3

所以（6-2）2=8-43

即有6-2

（2）构成三棱锥的两条对棱长为a，其他各棱长为2，如图5，取AB中点D，此时CD=SD=4-a24，在△SDC中，由三角形三边关系知，24-a24>a，得0

在实际考试中，学生往往看到四个表面三角形，只能粗略求得0

很难深入内部构建三角形，再利用三边关系建立不等式组，若用极端原理，就很容易知道：

由图4变成如图6，当AS、AD成平角时，此时a=SB=SC=SD2+BD2=1+（2+3）2=8+43=6+2.

由图4变成如图7，当AS、AD成零角时，

此时a=SB=SC=SD2+BD2=1+（2-3）2=8-43=6-2，

所以6-2

对图5，当S、C，A、B接近重合时，a趋近0；当二面角S-AB-C为180°

时，由SC=AB=a，SA=AC=CB=SB，可知四边形SACB为正方形，此时a=22 ，所以0

四、由棱长求体积或其最值

例5 （1999年上海高考理科试题第12题）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（写出所有可能的值）.图8

解析要构造出满足条件的四面体，关键是根据三角形知识确定每个面上的3条棱，排除（1，1，2），可得（1，1，1）、（1，2，2）、（2，2，2），用这3类面（三角形）在空间中构造出满足条件的一个四面体，这就要进行分类讨论了.另外一个难度体现求三棱锥的高，这要利用图形对称性及三角形中的面积关系，如图8.

其体积可能值是：1112，1412，116 .

例6 三棱锥S-ABC中，一条棱长为a，其余棱长均为1，求a为何值时，三棱锥S-ABC体积最大，并求最大值.图9

解析如图9，由于图形的对称性，容易求出高，所以很多学生会将体积表示为a 的函数，也能求出答案；但还有更妙的方法：这个三棱锥可以理解成两个边长为1的正三角形以棱BC为轴可以互相“开合”，两个顶点A、S之间的连线就是a（想像成橡皮筋），要使体积最大，当底面ABC一定时，只要棱锥的高最大即可，所以平面SBC垂直于底面ABC时，高最大，即为△SBC的高h=32，所以Vmax=13×34×32=18 ，此时，a=32×2=62.

例7 （2010武汉大学自主招生题）有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥.问a为何值时，可构成一个体积最大的三棱锥，最大值为多少？图10 图11

解析和例6有相似之处，只是变化的线段多一条，若方法不当，觉得无从下手且复杂，方法选好照样简单.由例2知构成三棱锥有两种摆放方式：

（1）当2条长为a的线段放在同一三角形中，如图10，不妨设底面BCD是一个边长为2的正三角形，要使体积达到最大，必有BA⊥底面BCD，此时由BA=2求得AC=AD=a=22，所以

Vmax=13×34×22×2=233；

（2）当2条长为a的线段不在同一三角形中，那只能是对棱的位置，如图11，不妨设AD=BC=a，BD=CD=AB=AC=2.取BC中点E，连结AE、DE，则AE⊥BC，DE⊥BC，从而BC⊥面AED.

所以V=13S△AED·BC.在△AED中，AE=DE=4-a24，AD=a，

S△AED=12a4-a24-a24=12a4-a22 ，所以

V=16a24-a22=1614a2·a2·（16-2a2），由三元均值不等式a2·a2（16-2a2）≤（163）3.

当且仅当a2=163时等号成立，即a=433时，Vmax=16273<18273=233.

综上，当a=22时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为233.五、棱长和向量的完美结合图12

如图12，在四面体ABCD中，不妨设AD=a，BC=b，CD=c，AB=d，则有如下一个优美结论：

2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2）

证明：因为BC=BD+DA+AC，

所以BC2=（BD+DA+AC）2=BD2+a2+AC2+2BD·DA+2BD·AC+2DA·AC，

b2=（BD2-2BD·ADcos∠ADB）+（AC2-2AD·ACcos∠DAC）+a2+2BD·AC，

又由余弦定理，得d2=a2+BD2-2BD·ADcos∠ADB，c2=a2+AC2-2AD·ACcos∠DAC，

从而b2=（c2-a2）+（d2-a2）+a2+2BD·AC，

即2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2）.

由上述结論可得：①已知四面体任意两组对棱的长，可求第三组对棱的数量积，但要注意两向量的方向，从图12中看出，两向量方向相当于平面直角坐标系中x轴和y轴的正方向；②如果将结论左边BD·AC看作一个量，可以“知四求一”；③若再知道BD和AC的长，则能求得异面直线AC和BD所成角的余弦值.设异面直线AC和BD所成角为θ，BD=e，AC=f，则2efcosθ=（a2+b2）-（c2+d2），谓之推论，也即知道四面体的所有棱长，能分别求得三组对棱所成角的余弦值.

例8 （2016届名校新高考研究联盟理科15题）空间四点A、B、C、D满足|AB|=2，|BC|=3，

|CD|=4，|DA|=7，则

AC·BD=.

解析由结论知：

2AC·BD=-[（AB2+CD2）-（BC2+AD2）]=38，

所以AC·BD=19.

例9 （金丽衢十二校一模理科15题）如图13，在三棱锥D-ABC中，已知AB=2， AC·BD=-3，设AD=a，BC=b，CD=c，则c2ab+1的最小值为.

解析由2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2），

得-6=（a2+b2）-（c2+4），即c2=a2+b2+2，

所以c2ab+1=a2+b2+2ab+1≥2ab+2ab+1=2，当且仅当a=b时，等号成立，此时c2ab+1的最小值为2.

例10 如图14，将一副三角板拼接后，再使三角板BCD沿BC竖起来，使两块三角板所在的平面互相垂直，求异面直线AD和BC所成角的余弦值.

解析不妨假设△BCD是一个角为300，另一个角为600的直角三角形.令CD=a，则BC=3a，BD=2a，AB=AC=62a，