物理矢量和标量学习中需要厘清的几个问题

高守贵

一、矢量之间的运算结果未必还是矢量

1.矢量之间加减，矢量和标量之间乘除，其结果仍是矢量

矢量的加法通常用平行四边形法则，由平行四边形法则可推广至三角形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。矢量加、减法即是矢量之间的合成或分解，结果仍然具有方向性，依然是矢量。

矢量和标量的乘积或除法可认为将矢量放大或缩小。如F=ma，F与a同方向；v=S/t，v与S同方向。毫无疑问，运算的结果仍为矢量，方向不变。

2.矢量和矢量之间的乘积，其结果未必是矢量

矢量和矢量的乘积可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积。如a=B·C，a变成了标量，大小是a=bccosθ，（θ是由B和C所成的夹角）。

矢量和矢量的乘积也可能构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。如力矩M=r×F=rFsinθ，感生电动势ε=Lv×B=LvBsinθ，洛仑兹力F=qv×B=qvBsinθ等，都是这种情况。

二、矢量和标量学习中容易混淆的几个问题

1.有方向的物理量未必是矢量

电流有方向，但是电流却是标量，电流的运算遵循一般的代数法则。电流的方向是人为规定的，即正电荷定向移动的方向为电流的方向，电流的方向与真正矢量的方向有区别。

2.极少数矢量也遵循一般代数法则运算

力矩是矢量，而合力矩的运算却遵循代数法则。这是因为在同一平面上的力矩方向只有逆时针方向（正力矩方向）和顺时针方向（负力矩方向）的缘故，它的运算方法简化为代数加减。

3.标量不能进行正交分解

因为标量没有方向性，所以分解标量在物理意义上是行不通的。

如论证平抛运动中物体的机械能守恒：设物体质量为m，水平初速度为v0，下落高度为h。

常见的错误论证如下：根据平抛运动的特点，水平方向的分速度不变，所以水平方向机械能不变，运动过程中都是mv02。竖直方向相当于自由落体运动，初位置的机械能为重力势能，大小为mgh；下落h高度后，竖直方向的分速度为√2gh，此时重力势能全部转化为动能，大小也为mgh，所以竖直方向的机械能也不变。故机械能守恒，命题得证。

上述论证在物理意义上是行不通的。因为只有力、速度等矢量才能进行正交分解，而功和能都是标量，所以不能进行正交分解，无所谓“哪个方向上能量守恒”。由于对标量、矢量在物理意义区分上出现混淆，才造成上述错误。

三、矢量和标量的辨别方法

1.矢量和标量通常的辨别方法

物理矢量和标量最本质的区别是它们的定义、性质、物理意义不同，不考虑方向无法完全确定的物理量是矢量；它们之间最明显的区别是运算方法不同，通常矢量运算并不遵循代数法则，而是几何运算法则即平行四边形法则等。

2.从维度方面来区别矢量和标量

矢量和标量的区别就是他们所依存的空间是多少维的，矢量一般需要二维或者三维，特殊情况下简化为一维，而标量是一维的或者根本就没有方向。

以力为例深入地分析矢量的维度和运算，如果几个力方向相同或相反，即简化为只在一个维度即一条直线上，它们之间的合成简化为代数加减。如果两个共点力方向成一定夹角（不等于0°或180°），则它们在两个維度即一个平面上，它们之间的合成只能依照平行四边形法则等几何运算法则来运算；若有三个或更多的共点力，则任取两个力合成后取合力，此时一个合力代替了这两个力而减少了一个力，再用合力与第三个力合成减少一个力，依此类推，直至求出最终的合力，即使这些共点力不在同一个平面上，形成在三个维度即立体空间中合成，运算方法也不变，n个共点力合成需要合成（n-1）次。

总之，只有从概念本质理解物理标量和矢量，掌握运算规律，才能扫除学习上的障碍，从而更加深入地理解物理量的物理意义。

参考文献：

[1]陈慎骐.物理学中标量和矢量辨别[J].课程教育研究，2016（20）：155.

[2]米志华.物理量矢量与标量误判分析[J].中学物理，2015（1）：21-22.