2017年高考数学模拟试题（一）
2017-03-30蔡勇全
蔡勇全
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合A=x|x≤4，x∈R，B=x|x+5x-a≤0，则“AB”是“a>4”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=23，a⊥（a+b），则a与b的夹角为（ ）.
A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6
3.对于任意的两个数对a，b和c，d，定义运算a，bc，d=ad-bc，若1，-1z，zi=1-i，则复数z为（ ）.
A.2+i B.2-i C.i D.-i
4.公因式只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7，1与4互质.在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（ ）种.
A.576 B.720 C.864 D.1152
图15.一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图1所示，则这个正三棱柱的体积为（ ）.
A.3 B.23 C.43 D.63
6.已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数fx的图象（ ）.
A.关于点π12，0对称
B.关于直线x=5π12对称
C.关于点5π12，0对称
D.关于直线x=π12对称
7.设直线l：mx+m-1y-1=0（m为常数），圆C：x-12+y2=4，则（ ）.
A.当m变化时，直线l恒过定点-1，1
B.直线l与圆C有可能无公共点
C.若圓C上存在关于直线l对称的两点，则必有m=0
D.若直线l与圆C有两个不同交点M，N，则线段MN的长度的最小值为23
图28.如图2所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（ ）.
A.0，3 B.0，4 C.2，3 D.2，4
9.设m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）.
A.5 B.6 C.7 D.8
10.已知集合x，y|2x+y-4≤0，x+y≥0，x-y≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点Px，y，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（ ）.
A.3π32 B.3π16 C.π32 D.π16
11.过双曲线x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦点F-c，0（c>0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若OE=12（OF+OP），则双曲线的离心率为（ ）.
A.3+32 B.1+52 C.52 D.1+32
12.已知函数fx=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1，x2，且x1∈-2，-1，x2∈1，2，则f-1的取值范围是（ ）.
A.-32，3 B.32，6
C.3，12 D.-32，12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n=___ .
14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若c·cosB=b·cosC，且cosA=23，则sinB=____.
15.若函数fx=2x-a，x≤0，lnx，x>0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是___.
16.已知正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）___.
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；
②当点P在直线FG上运动时，AP⊥DE；
③当点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；
④若点M是平面A1B1C1D1内到点D与到点C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=32an+n-3.
（Ⅰ）求证：数列an-1是等比数列；
（Ⅱ）令cn=log3a1-1+log3a2-1+…+log3an-1，对任意n∈N*，是否存在正整数m，使1c1+1c2+…+1cn≥m3都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.如图3，按照50，60，60，70，70，80，80，90，90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60，90，100的数据）.
图3
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学得分在80，90的学生人数，求ξ的分布列及其数学期望.
图419.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大小.
20.（本小题满分12分）已知点F1-1，0，F21，0，动点G满足GF1+GF2=22.
（Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）已知过点F2且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点.在线段OF2上是否存在点Mm，0，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数fx=ex-ax-1（a∈R）.
（Ⅰ）求函数fx的单调区间；
（Ⅱ）函数Fx=fx-xlnx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若gx=lnex-1-lnx，当x∈0，+∞时，不等式fgx 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数），定点A0，-3，F1，F2为圆锥曲线C的左、右焦点. （Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程； （Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M、N两点，求F1M·F1N. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数fx=2x+2-x-2. （Ⅰ）求不等式fx>2的解集； （Ⅱ）若对于x∈R，fx≥t2-72t恒成立，求实数t的取值范围. 参考答案 一、选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A 11.B 12.C 二、填空题 13.60 14.306 15.0，1 16.②③④ 三、解答题 17. 解 （Ⅰ）当n=1时，S1=a1=32a1-2，解得a1=4，当n≥2时，由Sn=32an+n-3得Sn-1=32an-1+n-4. 两式相减，得Sn-Sn-1=32an-32an-1+1，即an=3an-1-2（n≥2），则an-1= 3an-1-1，故数列an-1是以a1-1=3为首项、3为公比的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3a1-1+log3a2-1+…+log3an-1=1+2+…+n=nn+12. 所以1cn=2nn+1=21n-1n+1，则有1c1+1c2+…+1cn= 21-12+12-13+…+1n-1n+1=21-1n+1，由1c1+1c2+…+1cn≥m3对任意n∈N*都成立，得21-1n+1≥m3，即m≤61-1n+1对任意n∈N*都成立，又m∈N*，所以m的值为1，2，3. 18. 解 （Ⅰ）由题意知，样本容量n=80.016×10=50，y=250×10=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030. （Ⅱ）由题意可知，分数在80，90有5人，分数在90，100有2人，共7人.抽取的3名同学中得分在80，90的学生人数ξ的可能取值为1，2，3，则 Pξ=1=C15C22C37=535=17，Pξ=2=C25C12C37=2035=47，Pξ=3=C35C37=1035=27，所以ξ的分布列如下： 19.解 如图5所示，建立空间直角坐标系O-xyz，设DC=1. （Ⅰ）連结AC，交BD于G，连结EG.依题意得 20. 解 （Ⅰ）由GF1+GF2=22，且F1F2<22知，动点G的轨迹是以F1-1，0， F21，0为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），c=a2+b2，由题知，c=1，a=2，则b2=a2-c2=2-1=1，故动点G的轨迹Ω的方程是x22+y2=1. 21. 解 （Ⅰ）由fx=ex-ax-1可得f ′x=ex-a.当a≤0时，对任意x∈R，有f ′x>0，所以函数fx在区间-∞，+∞上单调递增；当a>0时，由f ′x>0可得x>lna，由f ′x<0可得x 22.解 （Ⅰ）因为圆锥曲线C的参数方程为x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数），所以圆锥曲线C的普通方程为x24+y23=1，所以可得A0，-3，F1-1，0，F21，0，且k=3，l：y=3x+1，直线l的极坐标方程为ρsinθ=3ρcosθ+3，即2ρsinθ-π3=3. 23.解 （Ⅰ）由题意，fx=-x-4，x<-1，3x，-1≤x<2，x+4，x≥2，当x<-1时，-x-4>2，解得x<-6，所以x<-6；当-1≤x<2时，3x>2，解得x>23，所以23 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，fxmin=f-1=3，若对于x∈R，fx≥t2-72t恒成立，则只需fxmin=-3≥t2-72t2t2-7t+6≤0，解得32≤t≤2，所以实数t的取值范围为[32，2]
