巧用坐标式三角形面积公式简化解题过程

虞懿

一、坐标式三角形面积公式

此公式乃坐标式三角形面积公式，其形式与平面向量共线的充要条件的坐标公式特征极其相似，这样可有助于对其理解和掌握（可以这样理解：当向量OA与OB不共线时，三点A，O，B就能构成三角形，就有其面积；当向量OA与OB共线时，三点A，O，B就不能构成三角形）.倘若将该公式应用于解决解析几何中有关三角形面积问题时，别有一番情趣，可使解题过程得到简化.下面就用该公式求解几道相关试题并将过程展示出来，以飨读者.

二、应用举隅

例1 （2014浙江省高中数学竞赛第12题）若平面上四点A，B，C，D，满足任意三点不共线，且4AC+2AB=AD，则S△ABDS△ABC=.

评注 本题的解法多种多样，但运用坐标式三角形面积公式解决，可使思路清晰，过程优化.

例2 （2015山东省高中数学竞赛第13题第（1）问）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，不过原点的直线l和椭圆相交于两点A，B，求三角形△OAB面积的最大值.

解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m，

从而S△OAB≤ab2，由此可得，对任意的k，S△OAB≤ab2，等号成立当且仅当a2k2+b2=2m2.

若直线l的斜率不存在，设l的方程为x=m，则易证S△OAB≤ab2，等号成立当且仅当a2=2m2.所以三角形ΔOAB面积的最大值为ab2.

评注 利用坐标式三角形面积公式求解关键在于确定三角形各点的坐标.对于求解方程比较困难（方程的根不是十分简便）或含字母参数时可利用根与系数的关系进行合理转化.

例3 （2015四川省高中数学竞赛第15题）过双曲线x2-y24=1的右支上任意一点P（x0，y0）作一直线l与两条渐近线交于点A，B，若P是AB的中点.

（1）求证：直线l与双曲线只有一个交点；

（2）求证：△OAB的面积为定值.

解析 （1）略.

（2）双曲线两条渐近线方程为y=±2x.

評注 解析几何问题的本质是用代数方法解决几何问题，坐标式三角形面积公式自然地提供了解决解析几何中有关三角形面积问题的一条捷径.

例4 （2011河南省数学竞赛11题）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径作两个圆.点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作AN⊥Ox，垂足为N，过点Q作QM⊥PN，垂足为M，记当半径OP绕点O旋转时点M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）设A，B，C为曲线E上的三点，且满足OA+OB+OC=0，求△ABC的面积.

解 （1）设M（x，y），取∠xOP为参数φ，则x=acosφy=bsinφ，消去参数φ，得x2a2+y2b2=1，即为曲线E的方程.（2）设A，B，C的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），由上又可设A，B，C的坐标依次为（acosα，bsinα），（acosβ，bsinβ），（acosγ，bsinγ），

则由条件OA+OB+OC=0，得

acosα+acosβ+acosγ=0bsinα+bsinβ+bsinγ=0，进而可化为cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0，消去γ，

得cos（β-α）=-12，所以sin（β-α）=-32或32，

由坐标式三角形面积公式S△AOB=12x1y2-x2y1=12|abcosαsinβ-absinαcosβ|

=ab2sin（β-α）=3ab4.

同理，得S△BOC=S△COA=3ab4，

所以S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=33ab4.

评注 这里应用坐标式三角形面积公式及用椭圆的参数方程形式表示椭圆上的点的坐标，将已知条件转化为三角函数求值问题，避免了复杂的运算.从而使解题过程清晰流畅，令人赏心悦目，流连忘返.

纵观上述几例，应用坐标式三角形面积公式来解决三角形面积问题，由于在解题过程中避免了求边长和该边上的高两个步骤，因此使解题过程变得简洁，这对优化学生的思维品质，提高学生的解题能力是大有益处的.