从“向量”内容谈高中大学数学教学衔接

刘欣欣，苏 丽

（大连科技学院，辽宁 大连 116000）

从“向量”内容谈高中大学数学教学衔接

刘欣欣，苏 丽

（大连科技学院，辽宁 大连 116000）

本文以“向量”内容为例，将高中数学教材与大学数学教材的知识点行归纳分析，并针对两种教材中出现的重复、说法不一致及大学教材独有的内容提出教学建议，并对整个高中和大学数学教材内容以及教学方法的衔接问题上提出解决的办法，以供大学数学教师和教学管理者参考.

向量；高中；大学；衔接

高等数学与初等数学在内容和思想方法上有很大的区别，比方说：高等数学研究的对象是变量，而初等数学研究的对象是不变的量；高等数学中的函数除了一元函数还有多元函数，而初等数学只研究一元函数；高等数学处处体现着极限的思想方法，而初等数学却很少使用这种思想方法.

但是具体到大学数学教材和高中数学教材，却有相当部分的重复和前后说法不一致的现象.比方说在《普通高中数学课程标准》实施后，高中数学教材的内容增加了微积分初步、算法初步、概率、简单逻辑、统计等.其中由于导数和积分被大量引入到高中教材，使得大学数学“微积分”部分近五分之一的内容都在高中讲过，于是有很多人批判大学老师不了解中学教材，说大学老师在这部分的处理上“一带而过”或是“二次讲授”.其实大学数学教师在面对这一情况时很为难：如果把重复的部分重新讲一遍，学生就会认为大学数学只不过是高中内容的重复，学生的求知欲受到严重打击，于是在听课时积极性不高、对重复部分中需要重点掌握的核心知识一知半解；教师如果将重复的部分一带而过，又有很多高中数学知识不扎实的学生听不懂、跟不上课堂节奏，出现高中和大学知识的衔接空挡.这种现象在经济管理专业表现更为明显，因为这一专业在招生时是文理兼收的，学生在数学水平上有很大的差异，所以在数学学习上两极分化的现象非常突出.

因此，如何在教学内容和教学方法上和谐地处理高中和大学数学教学的衔接，是大学数学教师需要思考和研究的问题，本文将以人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学4必修（B版）》（2007年4月第二版）和高等教育出版社出版、同济大学数学系编写的《高等数学》（2007年4月第六版）为研究依据，以“向量”内容为例，将高中数学教材与大学数学教材的知识点行归纳分析，并针对两种教材中重复、说法不一致以及大学教材独有的内容提出教学建议，并对整个高中和大学数学教材内容以及教学方法的衔接问题上提出解决的办法，以供大学数学教师和教学管理者参考.

1 存在的具体问题及建议

1.1 向量的概念

高中和大学教材在开篇都介绍了自然界中的两种量：数量和向量，并都用物理学中的概念“位移”来引入“向量”这种“既有大小、又有方向的量”.接下来又都对于“向量的表示”、“自由向量”、“向量的相等”、“向量的模”、“单位向量”、“零向量”、“向量的夹角”、“向量的垂直”以及“向量的平行”加以定义.

可以发现，在“向量的概念”这一内容上，两种教材基本是重复的，建议大学教师在讲述这些内容时，可以引导学生回忆高中的知识，教师对学生遗漏或者说错的地方进行补充和强调，将关键的知识点在黑板板书，这样不但会让以前基础不好的学生重新系统地学习，也会让基础好的同学积极参与到课堂讨论中.

1.2 向量的加减法

“向量的加法”内容上，高中和大学教材都详细介绍了向量运算的“三角形法则”和“平行四边形法则”以及“向量加法的运算律（交换律和结合律）”.

“向量的减法”内容上，高中和大学教材都介绍

1.3 数与向量的乘法

1.4 向量的坐标

高中教材首先定义了“轴上向量的坐标”，指出“轴上任意向量，一定存在唯一实数x使，并定义“叫做轴的基向量”和“x叫做在轴上的坐标”.然后又定义了“平面上向量的坐标”：“如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数a1和a2，使，且称不共线向量叫做这一平面内所有向量的一组基底，记作.最后，定义“向量的直角坐标”：“如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底”，和“在正交基底下分解向量叫做正交分解”，以及“在直角坐标系xoy内分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量建立正交基底，”从而“在坐标平面xoy内，任作一向量，则存在唯一的有序实数对(a1,a2)，使就是向量在基底下的坐标，即.”可以看出，高中教材用循序渐进的方式给出“向量坐标的定义”，并反复提到“基向量”、“基底”等概念.

大学教材也是采取类似的思路，首先定义“轴上点P的坐标为x的充分必要条件是（其中是数轴ox上的单位向量）.接着在空间直角坐标系中设，并由定义“向量r的坐标分解式进而定义“有序数x、y、z为向量r在坐标系Oxyz中的坐标，记作”.可以看出，大学教材从轴上的向量坐标直接过渡到了空间中向量的坐标，中间没有介绍“平面上向量的坐标”，而且只是说是ox、oy、oz轴上的单位向量，并没有提到“基向量、基底”这些概念，且大学公共数学课直到《线性代数》这门课才提到了“基”，且是“n维线性空间的一组基”这一复杂的概念.

从高中和大学教材对向量坐标的处理方式可以看出高中在这一部分内容讲得比较复杂而大学教材讲得比较通俗易懂，另外学生会发现到在中学向量坐标中一直提到的概念“基”在大学突然不见了，再次遇到“基”的时候，这一概念已经变得相当复杂了.教材内容的突然断层，让学生很难将前后知识很好地贯穿到一起，在目前高中和大学教材还没有改版的情况下，建议大学教师在处理这一内容时，捎带提一下高中时学过的“基”的概念，让学生的数学学习内容保持一致性.

1.5 两向量的内积和外积

两向量的内积在高中教材里也有，而外积则是大学数学才讲的内容，这两种向量的乘积在本质上完全不一样，但是又有很多内容可以进行对比，所以建议讲授此部分内容时，把两向量的内积和外积放在一起对比讲授.例如，介绍内积的概念时，教师会讲到：内积又称作“数量积”、“点乘”，此时马上介绍外积又称作“向量积”、“叉乘”，并及时将两种符号进行板书，学生会对这两种向量的乘积符号印象非常深刻，一下子就理解了“点乘”和“叉乘”这两个概念的差别，并且由“数量积”和“向量积”这两个词的差别记住了的结果是一个数，而的结果是一个向量.教师这个时候可以强调，虽然在中学时“·”和“×”的差别大，但是在大学数学中却“失之毫厘谬以千里”.

2 解决的办法

从“向量”内容的高中和大学教材比较来看，这两种教材在此部分内容的衔接方面存在着很多值得改进的地方，“管中窥豹”可见整个高中和大学数学的衔接上一定有很多问题急需解决，针对这些问题，笔者提出如下一些解决办法：

2.1 学校应该根据学生的具体情况进行班级编排

大学的数学课堂很多都是大班授课，经常有不同专业的学生被编入了一个教学班，比如经济管理类有的专业招生时只招理科，而有的专业绝大多数都是文科生，而教务排课人员在排课时只注意到了这些专业学的都是同一层次的高等数学课，于是就把这两种专业的学生编排到了一个教学班，这样就导致了数学基础不一样的文科生和理科生混在了一起，教师在上课时没有办法兼顾两种学生.

建议学校在给学生排课时，要了解当年学校的具体招生情况，尽量把招文科生的专业和招理科生的专业编排在不同的教学班，让同一个教学班学生的数学水平基本相当，这样教师在上课时可以针对不同水平的学生做到有的放矢.

2.2 教师应充分了解学生的数学基础，对不同基础的学生采取不同的教学手段

教师在课前可以通过谈话等方式对本教学班的学生情况进行了解，对于招文科生的专业可以针对文科生数学基础差的特点补充他们在高中时缺失的数学基础知识，课堂上以教师为主导做到精讲多练，让文科生的数学基础尽快提高.对于招理科生的专业可以偶尔采取“翻转课堂”的方式，对高中和大学内容重复的部分让学生来讲，老师适时地进行解释和补充，并对以后要用到的知识点加以重点强调，并且在每堂课的结尾提出思考题让学生查阅资料，让学生了解到以前在高中所学的数学知识虽然跟大学有重复，但是大学数学研究的角度以及可以用来解决的问题却跟高中不一样，从而激发学生的学习兴趣、拓宽学生的眼界.

2.3 注重数学软件的应用

现在很多高校都开始注意到Matlab、Mathematica、Maple等数学软件在学生学习高等数学时所起的作用，许多高等数学教材也配备相关的“数学实验”内容，如普通高等教育“十二五”规划教材——池春姬、郭山主编，由中国传媒大学出版社出版的《经济应用数学（微积分）》，就大量加入了Matlab数学实验，这些数学实验的引入，为学生提供了直观的感受，让学生学会利用计算机和数学软件深刻理解数学知识，引导学生积极主动地利用现代信息技术解决数学问题.

〔1〕同济大学数学系.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育出版社,2007.6.

〔2〕人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书数学4必修 （B版）[M].北京：人民教育出版社, 2007.4.

〔3〕池春姬,郭山.经济应用数学（微积分）(第二版) [M].北京：中国传媒大学出版社，2015.7.

O1-4

：A

：1673-260X（2017）05-0017-03

2017-02-23

2012年度辽宁省高等学校科学研究一般项目（W2012279）