对原版教材一道“路径最短”问题的探究

董凤娥

[摘 要] 本文对原版人教版数学教材八年级上册第42页的一道路径最短问题进行了探究.

[关键词] 原版教材；新版教材；将军饮马问题；路径最短；轴对称

背景简介

首先让我们看一道路径最短问题：如图1，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线路径最短？

该问题是原版人教版数学教材八年级上册第42页“轴对称”这一章的一个路径最短探究活动问题. 本题乍一看和古希腊著名的“将军饮马问题”极其相似，但仔细推敲还是有区别的. 请读者自行和新版人教版教材“轴对称”这一章第85页问题一的“将军饮马问题”比对一下，本文从略. 因大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了“将军饮马问题”，笔者称之为“海伦解法”，所以原版人教版数学教材八年级上册对这个问题给出的解答就是“海伦解法”.

前些年，因全国各地极少数教师们对原版教材选择此题和给出的解答并不认同，并经常在报刊各抒己见，故新版人教版教材就把这道例题撤掉了，换上了真正的大家公认的“将军饮马问题”，以考查学生运用轴对称解决实际问题的能力. 尽管如此，有些教师，尤其是老教师，对于这道题仍然念念不忘，时不时讲完“将军饮马问题”后，把和这道题说法类似的问题搬出来供学生练习使用，但给出来的答案竟然和原版人教版教材的解答实质一样，这种做法或多或少有点令人遗憾. 出现这种现象的原因在于大多数教师没有真正领会什么才是大家公认的“将军饮马问题”，遇見类似问题，总是凭直觉按过去的老一套进行处理. 本题既然和“将军饮马问题”不一样，究竟应该如何进行处理呢？正是基于这样的背景并带着这样的疑问，笔者想借贵刊一角，表达自己的看法，和大家进行探讨.

探究情况

一个偶然的机会，笔者发现陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》杂志在2016年第4期下旬刊学研版第49～50页，刊登了王春安老师的《对一道路径最短问题的探究》一文，读后受益匪浅，令人耳目一新. 受该文的启发，笔者对原版人教版数学教材八年级上册第42页的这道路径最短问题进行了尝试性的探究，发现这道题很耐人寻味，现解答如下.

情形一：当直线L和AB不平行时，A，B在L的异侧.

根据两点之间线段最短可知，泵站应建在直线L和AB的交点处，输气管线路径最短为AB.

情形二：当直线L和AB平行时，A，B在L的同一侧.

如图2，已知AB∥L，作AD，BE与L垂直，垂足分别为D，E，延长BE到G，使BE=EG，连接AG与直线L交于C点，连接BC.

探究结论

由上述探究过程可知，两个小镇到燃气管道的距离以及两个小镇之间的距离对路径最短问题的结果是有影响的，忽视这些因素，就会造成漏解. 原版人教版教材对此题的解答即便是紧紧抓住“如图”这一字眼展开解答，也还是漏掉了情形二的三种结果和情形三的另外两种结果. 出现这种矛盾的原因就在于“将军饮马问题”的答案具有唯一性，而原版教材恰恰就是把这个本来就不是“将军饮马问题”的问题看成了“将军饮马问题”，这也是少数教师对原版教材选择此题和教材中给出的解答表示不认同的原因.

对原版教材上的这个问题，多数教师照本宣科，从不质疑. 即便有教师质疑过但也不知道如何描述本题的解答，更何况学生呢？新版人教版教材删掉这个问题而给出大家公认的“将军饮马问题”实乃明智之举，应该给予点赞. 因为新版教材给出的解答是针对大家公认的“将军饮马问题”而言的，答案具有唯一性，无需分类讨论，既不会引起人们的质疑，还符合学生的认知规律.

以上探究过程、结论和观点等等，只是笔者的一孔之见，不妥之处，请同行斧正.