一类对合幂等元半环的刻画

王红喜

【摘要】 本文研究了满足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的对合幂等元半环簇的一个子簇，讨论了该簇中成员的一些性质，最后，给出了这类对合幂等元半环的几个等价刻画.

【关键词】 对合幂等元半环；簇；单演双半格

一、引言与预备知识

在半环代数理论的研究中，对幂等元半环的研究是十分活跃的领域.近年来，许多专家学者对其进行了深入细致的研究.Sen M.K等研究了满足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的冪等元半环簇的一个子簇R + ○ D.对合半环在代数学的不同领域和计算机科学中占有重要地位.例如，在形式语言和自动机理论中语言对合半环丰富了Kleene循环运算理论.近年来，Dolinca I对对合半群和对合半环做了大量的研究.

本文给出了满足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的对合幂等元半环簇的一个子簇，讨论了该簇中成员的一些性质，最后，得到了这类对合幂等元半环的几个等价刻画.

若非空集合S上装有两个二元运算加法+和乘法·，其中（S，+）和（S，·）是半群，且满足乘法对加法的分配律，即（a，b，c∈S），a（b+c）=ab+ac，则称（S，+，·）是半环.以下在不引起混淆的情况下，半环（S，+，·）简写为S.

幂等元半环是指（S，+，·）是半环，且（a∈S），a+a=a，aa=a.

含对合运算的半环（S，+，·，）是指（S，+，·）是半环，且有下式成立：

（a，b∈S）（a+b）=b+a，（ab）=ba，（a）=a.

即是S上的反自同构，也可以看作半环上的一元运算.把含对合运算的幂等元半环简称为对合幂等元半环.

簇是关于同态像、直积和子代数封闭的代数类.所有对合幂等元半环形成的类是满足一组给定等式的代数类，因而它就是一个簇.双半格是满足恒等式x+y≈y+x，xy≈yx的幂等元半环.单演双半格是满足恒等式x+y≈xy的双半格，左零半环是满足恒等式x+y≈xy≈x的半环.为了以下叙述的方便，本文将用I表示对合幂等元半环簇，用M表示对合单演双半格簇，用Lz表示对合左零带簇.两个幂等元半环类V和W的Mal′cev积，记为V ○ W.它是满足下面条件的幂等元S的全体：S上存在同余ρ使得S/ρ∈W和每个ρ-类都是S的子代数，且都在V中.

若（S，+，·）是半环，则D + 和D · 分别表示加法和乘法半群上的格林关系，若S∈I，易得D + 是S上的同余关系，而D · 不是S上的同余关系，但D + 和D · 分别是（S，+）和（S，·）上的最小半格同余.

二、主要结果

我们主要来研究满足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的对合幂等元半环，为此先来给出一个引理.

引理2.1 若对合幂等元半环S满足附加恒等式

x+y≈xy， （1）

x+y+x≈x+y. （2）

则S满足

x+xy+x≈y+yx+y≈y+x， （3）

x+xy≈xy+y≈xy. （4）

引理2.2 若S是满足（3）与（4）的对合幂等元半环，则D + 是S上的最小单演双半格同余.

定理2.3 若S是对合幂等元半环，则下列命题等价

（ⅰ）S满足（1）与（2）；

（ⅱ）S满足（3）与（4）；

（ⅲ）D + 是S上的最小单演双半格同余，且每个D + -类满足x+y≈xy≈x；

（ⅳ）S∈Lz ○ M（这里M是含对合运算的单演双半格）.

证明 由引理2.1知，（ⅰ）（ⅱ）成立.

下证（ⅱ）（ⅲ），由引理2.2知，D + 是S上的最小单演双半格同余，只需证每个D + -类满足x+y≈xy≈x即可.由D + 的定义得每个D + -类是矩形带，又D + -类也满足（3）与（4），故有

a+b=a+ab+a=ab+a=a+b+a=a，

ab=a+ab=a（a+b）=a（a+ab+a）=aa=a.

（ⅲ）（ⅳ）.

易知S上的对合运算可诱导S/D + 上的对合运算，即M是含对合运算的单演双半格.

（ⅳ）（ⅰ）.若S∈Lz ○ M，则存在δ∈con（S），使得S/δ∈M，且每个δ-类属于Lz，设a，b∈S，则（ab）δ（a+b）δ（b+a）δ（ba），又由每个δ-类是左零带，所以

ab+ba=ab，ab+bab=（a+b）ab=a+b，

由（ab）δ（ba），得（bab）δ（bba）.

从而（bab）δ（ba），babab=ba，bab=ba，

于是a+b=ab+bab=ab+ba=ab，a+b+b+a=a+b+a=a+b，

所以（ⅰ）成立.