数学思想在高中数学解题中的应用

吴明飞

【摘要】 数学思想是经过数学思维活动而产生的结果.只有加强数学思想的培养，数学能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.而函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想是高中数学最常用的数学思想，也是历届高考的重点和热点.

【关键词】 数学思想；函数与方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化与化归思想

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性的最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是史地发展着的.

常见的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化与化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想、归纳推理思想、极限思想.其中，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想是高中数学最常用的数学思想，也是历届高考的重点和热点.下面就来探究一下这些常见数学思想在解題中的应用.

一、函数与方程思想的应用

函数思想的实质是摒弃所研究对象的非数学特征，在分析与研究数学中的数量关系时，建立或构造函数关系，利用函数的知识或函数的观点观察、认识、分析、解决问题的思想方法.

函数思想在高中数学解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的图像或性质，解有关求值、解（证明）不等式、解方程或求方程解的个数、求函数零点问题以及讨论参数的取值范围等问题.二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的.如，数列中有关最值问题.

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后，通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

二、数形结合思想的应用

数形结合是把抽象的数学问题与直观的几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，将抽象思维与形象思维相结合的一种数学思想方法.数形结合应用包括以数解形和以形助数两方面.在解题时应用数形结合的思想方法往往可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的.例如，方程 1 x-1 =2sinπx在区间[-2 015，2 017]所有根之和等于 .在解答时，要想求出本题在区间[-2 015，2 017]上所有根的具体值不太现实，因此，只能结合函数y= 1 x-1 与函数y=2sinπx，x∈[-2 015，2 017]的图像特征，即两函数图像都关于点（1，0）对称，从而选择数形结合法，如下图：

进一步得出答案4 032.

应用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

三、分类讨论思想的应用

当一个问题因某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分别讨论的思想方法就叫分类讨论思想.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

在高中数学中的分类讨论很多，如，集合中求参数的值（或取值范围）时，会对集合是否为空集进行讨论；涉及指数函数或对数函数底数是参数，又要用到指数函数或对数函数单调性时往往要对底数进行讨论；三角函数求同角的三角函数值，但又不清楚角所在的象限时要对角终边所在象限进行讨论.

四、转化与化归思想的应用

化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其他学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.因此，每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题，通常转化为平面几何问题；对于多元问题，转换为少元问题；对于高次函数（或高次方程）问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次、二次问题.对化归思想的考查，总是结合对演绎证明、运算推理、模式构建等理性思维能力的考查进行，因此，可以说每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.因此，重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化.