浅谈行列式的计算方法

卞兰芸

【摘要】 本文归纳总结了行列式的三种重要算法：化三角形法、加边法和范德蒙行列式法，并通过例子说明了这些方法在解决各类问题中的应用.

【关键词】 行列式；加边法；范德蒙行列式

行列式的计算是线性代数中的一个重要问题，在数学的各类分支中有极为广泛的应用.但行列式的计算方法很多且灵活多变，需要有较强的解题技巧.本文介绍了三类重要算法，并通过实例加以说明.

一、化三角形法

化三角形法就是利用行列式的性质将原行列式化成上（下）三角形行列式[1]计算的一种方法.根据上（下）三角形行列式元素的特点和结果的特殊性，用此种方法的主要过程就是化零元素，对一些特殊的行列式特别适用.

例1 计算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .

分析 化此行列式為上三角形的过程就是要把主对角线以下的第一列的n-1个1化为0，但要同时保证主对角线以下的其他零元素不变.这里只有依次做列运算c1- 1 j cj （j=2，3，…，n）才可实现.

Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n

=n！ 1-∑ n j=2 1 j .

二、加边法

加边法又叫作升阶法，即给原n阶行列式加一行一列得到n+1阶行列式并使其值不变.

例2 计算行列式

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .

分析 此行列式的特点是主对角线上的元素是1+a1，主对角线外其他元素全为1，则可加元素全为1的一行，利用性质将其化为例1中的类型.

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an

= 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an

=a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .

三、范德蒙行列式法

著名的范德蒙公式是：

Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j

范德蒙行列式的结构特点是：第一行元素全为1，第二行元素为n个数，第三行元素为n个数的2次方，依此类推，第n行元素为n个数的n-1次方.若行列式的各行（列）中出现有规律的元素的k次方，我们往往都会用到范德蒙行列式法.

例3 计算行列式

Dn+1= an （a-1）n （a-2）n … （a-n）nan-1 （a-1）n-1 （a-2）n-1 … （a-n）n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .

分析 可将行列式的行依次交换成标准的范德蒙行列式，这个行交换过程共需做n+（n-1）+…+1= n（n+1） 2 次.

Dn+1=

（-1） n（n+1） 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 （a-1）2 （a-2）2 … （a-n）2 an （a-1）n （a-2）n … （a-n）n

=∏ n+1≥i，>j≥1 （i-j）.

矩阵中的很多问题可以借助行列式的计算解决，比如判定方阵的可逆性、求矩阵对应的向量组的线性相关性等，因此，行列式的计算极为重要.在计算行列式时，我们要把握行列式的特点，灵活选用适当的方法进行计算.

【参考文献】

[1]陈绍林，唐道远.线性代数[M].北京：科学出版社，2014.

[2]李师正.高等代数复习解题方法与技巧[M].北京：高等教育出版社，2005.