题组变式训练(一)——三角恒等变换

________四川 敖德兵 苏文玉

题组变式训练(一)
——三角恒等变换

江苏 王怀学

1.同角三角函数的平方关系

1.1 已知角的三角函数值求其他值

1.2 利用平方关系开平方

1.3 平方关系与姊妹式的应用

2.同角的弦切关系(商的关系)

2.1 已知正切值求其他三角函数值

2.2 已知正余弦的齐次式，求正切值

3.两角和差的三角函数公式

3.1 角的拆分

3.2 角的整合

3.3 两角和差的正切公式的灵活应用

3.4 形如asinx+bcosx的化简(辅助角公式)

3.5 方程思想与两角和差公式

4.二倍角的三角函数公式

4.1 利用二倍角公式求值

4.2 二倍角公式中的倍角是相对的

4.3 二倍角的配凑与连续使用

5.三角恒等变形技巧

5.1 寻找三角式变换的方向

5.2 三角恒等证明

5.3 角的“配”与“凑”(角的变换)

5.4 转化函数名的差异(切化弦)

5.5 常值变换妙求值

5.6 整体换元法求值

1.同角三角函数的平方关系

1.1 已知角的三角函数值求其他值

可知α为第二象限角.

1.2 利用平方关系开平方

( )

A.3________ B.-3________ C.1________ D.-1

________.

1.3 平方关系与姊妹式的应用

(1)求sinθcosθ的值；

(2)求sinθ-cosθ的值；

(3)求tanθ的值.

故sinθ>0,cosθ<0,

又θ∈(0,π),故sinθ>0,cosθ<0.

( )

(1)sinα·cosα;

(2)sin4α+cos4α.

2.同角的弦切关系(商的关系)

2.1 已知正切值求其他三角函数值

【解析】(法1,弦化切)

( )

( )

2.2 已知正余弦的齐次式，求正切值

( )

3.两角和差的三角函数公式

3.1 角的拆分

【典例】求下列各式的值：

(1)sin15°;(2)cos75°;(3)sin75°;(4)tan15°.

【变式1】已知tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为________.

3.2 角的整合

【典例】求下列各式的值：

(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°;

(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.

(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0.

【变式1】sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为

( )

【变式2】sin735°cos75°+cos555°sin105°的值为

( )

【变式3】sin20°cos10°-cos160°sin10°的值为

( )

【变式4】cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为________.

3.3 两角和差的正切公式的灵活应用

【典例】(1+tan1°)(1+tan2°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)=________.

同理可得(1+tan2°)(1+tan43°)=2,…,(1+tan22°)(1+tan23°)=2,

所以原式=222·2=223.

【变式3】在△ABC中,(1+tanA)(1+tanB)=2,则角C的大小为________.

3.4 形如asinx+bcosx的化简(辅助角公式)

【典例】设x∈R,求y=sinx-2cosx的最大值.

【解析】因为y=sinx-2cosx

【变式3】当函数y=2cosx-3sinx(x∈R)取得最大值时,tanx的值是________.

【变式4】若函数f(x)=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=________.

3.5 方程思想与两角和差公式

4.二倍角的三角函数公式

4.1 利用二倍角公式求值

【变式2】计算：2cos222.5°-1=________.

【变式3】计算：sin15°cos15°=________.

4.2 二倍角公式中的倍角是相对的

【变式3】已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________.

4.3 二倍角的配凑与连续使用

【典例】化简cos12°cos24°cos48°cos96°.

【变式1】化简：cos72°cos36°.

【变式2】化简：sinxcosxcos2x.

【变式3】化简：cos20°cos40°cos60°cos80°.

【变式4】化简：sin10°cos20°cos40°.

( )

( )

5.三角恒等变形技巧

5.1 寻找三角式变换的方向

( )

5.2 三角恒等证明

【解析】证明：(法1)

【变式1】证明：(1)sin3α=3sinα-4sin3α;

(2)cos3α=4cos3α-3cosα.

【变式2】求证：sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β.

【变式3】求证：sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosα+sinβcosβ.

5.3 角的“配”与“凑”(角的变换)

( )

【变式2】已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=________;tan2β=________.

( )

5.4 转化函数名的差异(切化弦)

【解析】(法1)

原式=sin50°(1+tan60°tan10°)

【变式1】计算4cos50°-tan40°=

( )

5.5 常值变换妙求值

5.6 整体换元法求值

【参考答案与解析】

1. 同角三角函数的平方关系

1.1 已知角的三角函数值求其他值

1.2 利用平方关系开平方

【变式3】cos40°-sin40°

1.3 平方关系与姊妹式的应用

2.同角的弦切关系(商的关系)

2.1 已知正切值求其他三角函数值

2.2 已知正余弦的齐次式，求正切值

3.两角和差的三角函数公式

3.1 角度的拆分

3.2 角度的整合

3.3 两角和差的正切公式的灵活应用

3.4 形如asinx+bcosx的化简(辅助角公式)

3.5 方程思想与两角和差公式

4.二倍角的三角函数公式

4.1 利用二倍角公式求值

4.2 二倍角公式中的倍角是相对的

4.3 二倍角的配凑与连续使用

4.4 利用二倍角公式升幂去根号

5.三角恒等变形技巧

5.1 寻找三角式变换的方向

【变式1】C

5.2 三角恒等证明

【变式1】【解析】(1)左边=sin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α=sinα(1-2sin2α)+2cos2αsinα=sinα(1-2sin2α)+2(1-sin2α)sinα=3sinα-4sin3α=右边;

(2)左边=cos3α=cos(α+2α)=cosαcos2α-sinαsin2α=cosα(2cos2α-1)-2sin2αcosα=cosα(2cos2α-1)-2(1-cos2α)cosα=4cos3α-3cosα=右边.

【变式2】【证明】左边=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β=sin2α-sin2β=右边.

【变式3】【证明】左边=(sinαcosβ+cosαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)=sinαcosαcos2β+sin2αcosβsinβ+cos2αsinβcosβ+sinαcosαsin2β=sinαcosα(sin2β+cos2β)+cosβsinβ(sin2α+cos2α)=sinαcosα+sinβcosβ=右边.

5.3 角的“配”与“凑”(角的变换)

【变式1】3 【解析】tanβ=tan(α+β-α)=

5.4 转化函数名的差异(切割化弦)

【变式4】2 【解析】原式

5.5 常值变换妙求值

5.6 整体换元法求值