山重水复疑无路 柳暗花明又一村——例谈解题过程受阻的原因和对策

安徽 朱启州

(作者单位：安徽省淮北市杜集区教育局教研室)

山重水复疑无路 柳暗花明又一村
——例谈解题过程受阻的原因和对策

在数学解题中，我们常有解题解不下去的时候，有时是越解越没信心做下去，有时是思维受阻无计可施，有时是因思维定式钻进了牛角尖，种种困境不一而足.遇到这种让人心烦的情况怎么办？现从原因与对策两个方面谈一谈，供大家参考.

一、解题思路正确，因不当变形，解不下去

下面是某学生解题历程，让我们看看是什么原因造成解不下去.

要判断f′(x)的符号，关键是判断分子的符号，由此来确定原函数在区间(0,1]上的单调性，进一步求得最大值的表达式，于是可求出参数a的值.这种想法是没问题的，但这种情况下我们常需对上式中的分子因式分解，观察发现对ax2-2ax-2分解不易，转而对其中的参数a讨论，于是陷入困境.

【点拨】我们注意到a>0这个条件，对f′(x)换一种变形方式如何？

【评析】知识没问题，思路也正确，为什么会越做越没头绪了呢？由于受思维定式的影响，我们习惯地将f′(x)化为(1)的形式，而ax2-2ax-2不易继续变形，对参数a讨论又过于繁杂，而f′(x)换一种变形方式就可顺利求解.当我们因不当形变陷入困境时，不防换一种方法去思考.

二、运用常规方法，解题陷入繁杂运算，解不下去

【例2】讨论关于x的方程lg(-x2+x+2)=lg(1-k-x)解的情况.

下面是某位学生的解题历程，让我们看看是什么原因造成解不下去.

所以x2-2x-1-k=0 (-1

所以Δ=4+4(1+k)≥0，通过求根公式或用韦达定理列不等关系，讨论两根x1,x2的分布，结果解题陷入复杂的运算，解不下去.

【点拨】解至x2-2x-1-k=0 (-1

【解析】由x2-2x-1-k=0 (-1

得x2-2x=k+1，

可设y1=x2-2x，y2=k+1(-1

画图象，如图，观察图象，知当k+1≥3,或k+1<-1时，即k≥2,或k<-2时，方程无解；

当k=-2,或-1≤k<2时，有唯一解；

当-2≤k<-1时，有两解.

【评析】数形结合与分类讨论都是重要的数学思想方法，常可化腐朽为神奇.

三、选用关系不当，化简困难，解不下去

【例3】如图，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为________.

某学生是这样解的：

设点Q的坐标为(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

由矩形APBQ的两对角线交点R既是PQ中点，又是AB中点，得

x1+x2=x+4，①y1+y2=y，②

又A，B两点在圆x2+y2=36上，

(x1-4)(x2-4)+y1y2=0，

即x1x2+y1y2-4(x1+x2)+16=0.⑤

联立上述五个式子，消去x1,x2,y1,y2，找到x,y之间的关系，这一点做到真需要一点运算技巧，一般同学恐怕没有耐心做下去.

【解析】由∠APB=90°，得|AP|2+|BP|2=|PQ|2，

将①③④整体代入上式并整理，可得顶点Q的轨迹方程为x2+y2=56.

【评析】设参数过多或隐含条件挖掘不充分常造成上面这种困难局面.

四、因解题预设，思维受阻，解不下去

(1)求角C的大小；

【评析】解题中我们常根据解题经验会对问题解题思路有一个预设，关键是要随着解题的深入要随时矫正预设的解题方向和思路.

五、因找不到解题的着手点，解不下去

【例5】已知点O为△ABC的外接圆圆心，且|AC|=4，

【解析】作直径AD，连接CD,BD，则∠ACD=∠ABD=90°，并设∠CAD=α，∠BAD=β.

【评析】解题找不到着手点，常因问题隐含条件的挖掘不够或题设条件没充分利用.一般思考起点选择从问题条件、解题目标、解题方法等方面着手，正确的图形、特殊情形、类似问题等常能启发思考.

六、因思维变通性不够，解不下去

【例6】若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为________.

这是某校高三期末试题，有同学用分类方法求解得出了正确结果，但做得很辛苦，不少同学半途而废.

【点拨】问题实质就是“存在x0∈[1,2]，使x2+ax-2>0”，其否定是“对任意x∈[1,2]，都有x2+ax-2≤0”，于是问题转化为“不等式x2+ax-2≤0在区间[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围”，解这一问题就容易多了.

所以fmin(x)=f(2)=-1，

所以不等式x2+ax-2≤0在区间[1,2]上恒成立，a≤-1，

即不等式x2+ax-2>0在区间[1，2]上有解实数a的范围是(-1，+).

【评析】“穷则思变”,解题中要注意思维的变通性，要善于观察、联想、转化，根据问题不同情况灵活制定解题方案.

(作者单位：安徽省淮北市杜集区教育局教研室)