探讨微积分在研究随机现象中的妙用
2017-03-27彭章艳
彭章艳
【摘要】本文从经济学、物理学、数学建模算法中随机现象的实例出发，体现了微积分算法在其中的妙用.又从微积分运算研究随机现象的角度，阐述了微积分运算的具体应用，从而在今后的研究随机现象中，将微积分这一数学工具积极运用起来.
【关键词】微积分；概率论；数理统计；随机现象；数学模型
随机现象在现实生活中处处可见，通常是指事前不可预言的现象，即使在相同的条件下重复进行，每次结果也未必相同，或只知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定.它是概率论研究的主要对象，随着概率论中随机变量的引入，将随机试验的“结果”与“实数”对应起来，统一化、数量化，给用微积分研究随机现象带来了极大的方便，可以说微积分是解决一些计算问题必不可少的计算工具，是概率论与数理统计发展的保证，也是一种应用最广泛、最直接、最有效、最富创造力的数学方法.
一、用微积分运算经济学中的不确定性
微积分，是现代数学的重要基础与起点，内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象；极限是微积分的基本概念；微分和积分是特定过程、特定形式的极限.在自然科学领域中已有非常广泛的应用，同时也是经济、社会、人文等领域的研究工具.特别是经济学与现代数学关系更是密切，据统计自1969年起建立的诺贝尔经济学家奖的得主有半数以上得益于有效地应用现代数学，这是一个多么诱人的前景.
众所周知，经济活动通常是在不确定性的环境中进行，这种随机现象对经济活动不但有很大的影响，有时甚至有决定性的作用.为寻求经济的有关规律，就要通过数学计算精准地对经济进行预测或决策，因而与微积分就联系在一起了.下面我们以概率模型来说明人们在日常行为中用微积分寻求决策问题.
如第i个家庭是否决定买住房，与他的收入Xi有一定的联系，
我们首先建立一个概率模型Ii=β1+β2Xi.
Xi——第i個家庭的收入；Ii——不可观测的效用指数，
Ii值越大，拥有住房的概率越大，令Y=1，拥有住房；0，否则.
Ii买房门槛值，如果Ii值超过了Ii，该家庭将拥有住房，否则不拥有.
给定正态分布的假定，Ii≤Ii的概率可由标准化正态积分计算.
Pi=Pr（Y=1）=Pr（Ii≤Ii）=F（Ii）
=12π∫Ii-∞e-t22dt
=12π∫β1+β2Xi-∞e-t22dt.
其中t～N（0，1）.
通过这一模型，在这里又体现了微积分的妙处，它能把很多随机的现象，看来不是数，但可根据需要设定实数来表示，并利用积分进行，以便对采取的决策和行动提供依据和建议，而不是盲目地投资.由此我们可以坚信，数学将越来越精细地刻画实证经济学，这对我们许多人而言，使之越来越富有挑战性，它使我们以新的方式看待和思考世界.
二、用微积分定量分析物理学中的随机现象
数学是物理研究的工具和手段，物理学的一些研究方法有很强的数学思想，数学对物理学的发展起着重要的作用.经典的数学主要是伴随着物理发展起来的，从牛顿到拉格朗日，再从拉格朗日到哈密尔顿、庞加莱，其中的牛顿方程，拉格朗日方程和哈密尔顿方程可看作是他们的标志，且随着科学研究范围的拓展和实践水平的提高，人们的科学认识也在迅速地扩展和深化，从这里也可以看出数学和物理学的发展几乎是完全共生在一起的.
如，我们观测到的关于气体分子的运动，分子在x=0时与另一分子碰撞后，它在时刻x以前不与其他分子碰撞，而在（x，x+Δx）这段时间内与其他分子碰撞的概率等于λΔx+o（Δx），其中λ>0，问自由运动时间（连续碰撞之间的时间）大于x的概率如何？
分析：设p（x）为所求的概率，首先我们按题意建立关于p（x）的微分方程，则这个微分方程满足初始条件的特解就是所求的概率.
若设X为分子的自由运行时间，且P（X>x）=p（x），
则P（X>x+Δx）=p（x+Δx），其中Δx>0，
因为事件X>x可以分解为两个互不相容事件x
所以有
P（X>x）=P（x
=P（X>x）P（X≤x+Δx|X>x）+P（X>x+Δx）.
依题意有P（X≤x+Δx|X>x）=λΔx+o（Δx）.
由此得p（x）=p（x）[λΔx+o（Δx）]+p（x+Δx），
整理为p（x+Δx）-p（x）Δx=-p（x）λ+o（Δx）Δx.
因为当Δx→0时，o（Δx）>0是比Δx高阶的无穷小量，即limΔx→0o（Δx）Δx=0，
所以当Δx→0时，取极限得dp（x）dx=-λp（x）.
这就是关于p（x）的微分方程.当x=0时，X>0是必然事件，
有初始条件p（0）=P（X>0）=1，用分离变量法解得到通解p（x）=Ce-λx，
根据初始条件p（0）=1得C=1，所以满足初始条件的特解为p（x）=e-λx，
这就是我们要求的概率.
在这里我们首先按题意建立了探讨物理现象的数学模型——气体分子自由运行实际概率的微分方程.可见，当我们采用了微分法这一重要的数学方法，就能促进对实际问题的深刻认识，使数学为物理服务.可见一个物理现象产生了，就可用相应的数学模型来理解、表达它.不可否认，微积分对科学的发展和进步起到了巨大的推动作用，可以说没有数学的微积分，科学中的有些问题就无法解决，更不可能产生相应的技术和生产力.
三、用微积分建模随机现象及其计算机算法
当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、研究它的控制手段时，我们往往会用到数理统计.根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观概率性做出种种合理的估计和判断.为此我们常常要构建一座沟通现实世界与数学世界的桥梁，并以计算机为工具，应用现代计算技术，达到迅速、高效地解决实际问题.
如，我们来看一看关于录像机的计数器，老式的只有计数器，没有计时器.经试验一盘标明180分钟的录像带从开头放映到结尾，用了184分钟，计数器读数从0000变到6061，下面还有一批测试数据如表：
对于上述问题的建模求解，虽然方法有多种，但利用微分法不乏是其中的一种，即用时间序列的数据进行统计分析，推测事物的发展趋势；可见，随着计算机技术的迅猛发展、进步、推广和使用，这些随机现象参数的统计推断或最优设计、预测都可借助某些计算软件（如Matlan、Lingo等）的强大计算功能进行微积分的运算，使之对随机现象的研究更加便捷.
总之，随机现象在现实世界中大量存在，而微积分总是如影随形，并且研究随机现象的微积分在科学技术的各个领域也越来越得到广泛的应用和发展，随着科学技术的日新月异，微积分还将以其独特的数学方法、丰富的内容、严谨的理论为当今社会众多科学领域提供解决随机现象实际问题的高效工具，也必将为随机现象的深入研究，显示出其巨大的威力.
【参考文献】
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