三角形顶点与其对边定比分点连线的一个性质及其应用

高振山

本文介绍三角形顶点与其对边定比分点连线的三条直线的一个性质，以下简称“定理”（发现时间：2004年5月），这个定理给出了此三条直线的位置关系的判别，并且还给出了这三条直线所围成三角形的面积公式.它有一定的应用价值，可以说它是塞瓦定理及其逆定理的推广.

定理如图，若D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点（不在△ABC的顶点），并且D、E、F分别分有向线段BC、CA、AB的定比为λ1、λ2、λ3（即：BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3），则

（1）直线BE和CF相交（平行）1+λ2+λ2λ3≠0（1+λ2+λ2λ3=0）；

（2）直线CF和AD相交（平行）1+λ3+λ3λ1≠0（1+λ3+λ3λ1=0）；

（3）直线AD和BE相交（平行）1+λ1+λ1λ2≠0（1+λ1+λ1λ2=0）；

（4）若直线BE和CF交于点A′，直线AD和CF交于点B′，直线AD和BE交于点C′，则

S△A′B′C′=（1-λ1λ2λ3）2|（1+λ1+λ1λ2）（1+λ2+λ2λ3）（1+λ3+λ3λ1）|·S△ABC.

證明以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为（0，0），设A、C的坐标分别为（a，b）、（c，0）（b>0，c>0），则S△ABC=12bc，并且由有向线所以由以上可得（4）成立.

（ⅱ）当三条直线AD、BE、CF至少有一者与x轴垂直时，同理可得（1）、（2）、（3）、（4）均成立.

推论1（塞瓦定理）若O为△ABC三边所在直线外一点，直线AO、BO、CO分别与直线BC、CA、AB交于（异于△ABC顶点的）点D、E、F，则BDDC·CEEA·AFFB=1.

推论2（塞瓦定理逆定理）若D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点（异于△ABC顶点的），且BDDC·CEEA·AFFB=1，则三条直线AD、BE、CF交于一点或互相平行.

推论3（塞瓦定理及其逆定理的推广）已知D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点（不在△ABC的顶点），并且D、E、F分别分有向线段BC、CA、AB的定比为λ1、λ2、λ3（即BDDC=λ1，CEEA=λ2，AFFB=λ3）.

（1）若三条直线AD、BE、CF交于一点或互相平行，则λ1λ2λ3=1.

（2）若λ1λ2λ3=1，则

①当1+λ1+λ1λ2≠0（AD和BE相交）时，三条直线AD、BE、CF交于一点；

②当1+λ1+λ1λ2=0（AD和BE平行）时，三条直线AD、BE、CF互相平行.