浅谈“数形结合”思想在三角函数的应用

王炳权+谭希丽

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如，锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

在三角函数这一章的学习中不仅要让学生掌握特殊角的三角函数值，诱导公式以及三角函数关系，也要让学生重点把握任意角终边的位置、三角函数图像以及三角函数线的应用.接下来我将从以下方面来分析数形结合思想的运用：

一、在任意角中的应用

在任意角的讲解过程中，我们将角的范围扩大到任意角的范围，同时也给出了一个新的单位制来度量角度——弧度制.我们知道角有始边，有终边.终边的位置由旋转量和旋转方向做决定，根据终边位置的不同我们给出了象限角.在象限角中，我们经常会碰到下面的题型.

已知角α是第二象限角，则角α2为第几象限角（）.

A.第一象限角和第四象限角

B.第二象限角和第三象限角

C.第一象限角和第三象限角

D第二象限角和第三象限角

在这个问题的解题过程中，就可以通过终边所在的范围为第几象限角来选择.

∵π2+2kπ<α<π+2kπ，

∴π4+kπ<α2<π2+kπ.

根据角α2象限角的几何图形寻找终边所在的位置如图1中阴影部分所示.

二、在函数性质的应用

三角函数的图像是必须掌握的内容，根据图像我们一眼就能看出来函数的最值、单调性、奇偶性以及三角函数的最小正周期.而图像是如何得到的，我们需要根据三角函数线的运动来得到的，以正弦函数为例.

正弦函数的几何做法是在直角坐标系中，在横轴上找到一点，以该点为圆心，以单位长度为半径绘圆，通过角的终边与单位圆的焦点构造直角三角形.线段OB为角α的终边，有向线段CB则为正弦线，根据正弦线的运动，就可以找到任意角对应的函数.因此找到正弦数的图像如图2所示.

三、求焦点的应用

有一道关于正弦函数与正切函数在[0，2π]上有几个焦点的填空题.这个问题很好地反映了三角函数的图像是依据三角函数线得到的.如果忽略三角函数线的关系，三角函数在所画的图像中就会出现五个焦点.在第一象限内正切线的值都比正弦线的值大；在第二象限内正弦线的有向线段的值为正的，而正切线的值为负的；第三象限的情况正好与第二象限的相反；第四象限正切线的值都比正弦线的值小；只有在正弦线和正切线的值都为0时，两条线的大小相等，方向相同，此時两个函数图像有焦点.在[0，2π]上有三个焦点.所以两函数的图像画的过程要注意焦点.

在三角函数这一章中，要充分利用数形结合思想，化简中需要注意角的范围，体会每一象限中三角函数的正负号；函数的单调性、奇偶性、最值问题，可以通过图像来直接观察；同样的给出三角函数图像，也能求出y=Asin（ωx+φ）中的振幅、周期以及初相.

总观高中数学，数形结合的思想在高考中的应用也是极其重要的.数与形的结合，形与数的相互转换，都会让学生的解题能力得到一定的提高，同时教师也应该在讲课中，逐渐将数形结合的思想逐步渗透，从一开始就应该注重函数图像与解析式的结合，函数的基本性质在图像中的体现，层层渗透，让学生更能准确掌握该思想，运用自如.充分把握高考中的一个重要思想.