化归方法在数学解题中的应用

陈映明

【摘要】“化归”就是把未知的问题转化为已知的问题；把待解决的问题归结为已解决的问题，最终使问题得到解决的思维方法.化归的精髓在于对各种数学问题进行合理变换，从而达到化陌生为熟悉、化未知为已知、化繁为简、化抽象为具体的目的.

【关键词】化归；方法；解题；应用

一、引文

莫斯科大学C.A.雅洁卡娅教授曾说：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题.”这话是她在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时说的.

美国数学教育家波利亚曾用一个“烧水”的浅显例子，非常明白地解释了“化归”的数学方法.他说：“给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？”你会回答：“把空水壶放到水龙头下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把水烧开.”这个问题解决得很好.下面的问题：“给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你又该怎么做呢？”很多人的做法是把装了半壶水的水壶放到水龙头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开，问题就解决了.对照待解决的问题与已解决的问题，条件只有“装了半壶水的水壶”与“空水壶”的差别，需要完成的任务都是“烧一满壶开水”，所以只要把“装了半壶水的水壶”的条件转化为“空水壶”的条件，待解决的问题就“化归”为已解决的问题了，当然这是数学的思考.

二、何谓“化归”

（一）化归诠释

“化归”是把未知的问题转化为已知的问题；把待解决的问题归结为已解决的问题，最终使问题得到解决的思维方法.

化归的精髓在于对各种数学问题进行合理变换，从而达到化陌生为熟悉、化未知为已知、化繁为简、化抽象为具体的目的.

（二）化归分类

化归在数学中无时不在无处不存，转化是多种多样的，数与数的转化、数与量的转化、量与量的转化、代数与几何的转化、数与形的转化、运算关系的转化等等.

转化又分为等价转化与非等价转化.等价转化指的是转化过程中前因后果是充分必要的，保证转化后的结果仍是原问题的结果.非等价转化其过程是充分或必要的，需对结论进行必要的修正.

（三）化归的一般模式

化归转换的思想方法是数学解题的重要方法，利用化归转化解决问题的一般模式如下：

化归后得出的问题*必须是已经解决了的，或者是容易解决的、能够解决的.

三、解题策略上的化归

（一）数与数的转化

问题1f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（7.5）.

解答该问题时，主要是数与数的转化，再结合函数的周期性与奇偶性可得f（7.5）=f（5.5）=……=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.

（二）数与形的转化

问题2设x，y∈R，3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范围.

此问题可数形结合转化为解析几何问题求解.由3x2+2y2=6x，得（x-1）2+y232=1，它是一个顶点在坐标原点的椭圆，x2+y2的范围就是椭圆上的点到坐標原点的距离的平方，显然最小值是0，距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点，此切点为（2，0），它到坐标原点的距离的平方为4，故所求的范围是[0，4].

（三）通过恒等变形实现化归

1.在求有限和的极限时通过恒等变形转化为定积分来求.

问题3计算limn→∞∑nk=1nn2+k2.

此极限可通过恒等变形结合定积分的定义化归为定积分求出.

limn→∞∑nk=1nn2+k2=limn→∞1n∑nk=111+kn2=∫1011+x2dx=arctanx|10=π4.

2.求导数时作恒等变形转化为简单形式再求导.

问题4求y=sin2xcos2xsin3x-sinx的导数.

求此导数可作恒等变形先化繁为简再求导，就大为简便了.

y=sin2xcos2xsin3x-sinx=sin2xcos2x2cos2xsinx=sinx2，

再求导得y′=sinx2′=cosx2.

3.求积分时作恒等变形实现化归.

问题5计算∫2x+3x3+x2-2xdx.

将被积函数恒等变形即分式分项，得

2x+3x3+x2-2x=-32x+53（x-1）-16（x+2），从而

∫2x+3x3+x2-2xdx=-32∫1xdx+53∫1x-1dx-16∫1x+2dx

=-32ln|x|+53ln|x-1|-16ln|x+2|+C.

（四）通过变量替换实现化归转换

问题6已知f（x+1）=3x+2，求f（x）.

设x+1=u，则x=u-1，f（x+1）=f（u）=3（u-1）+2=3u-1，∴f（x）=3x-1.

（五）特殊到一般与一般到特殊的化归

问题7计算极限limn→∞nn.

将求limn→∞nn转化为求limx→+∞xx=limx→+∞x1x，利用罗比达法则就可求出.

此问题是数列极限化归为函数极限来求.

问题8x∈[-1，1]，有arcsinx+arccosx=π2.

此恒等式的证明化归为研究函数的导数.

设f（x）=arcsinx+arccosx，则f′（x）=0，

∴f（x）=arcsinx+arccosx=C（C是常数），

令x=0，有f（0）=arcsin0+arccos0=C=π2，

当x=±1时，f（±1）=π2，

∴x∈[-1，1]，有arcsinx+arccosx=π2.

以上的化归都是等价转化，跟非等价转化相比，等价转化居多.

（六）非等价转化问题

问题9解方程lg（x2-2x-3）=lg（1-2x）.

lg（x2-2x-3）=lg（1-2x）x2-2x-3=1-2x

x2-4=0，∴x1=-2，x2=2（经检验是增根，舍去），

∴原方程的根为x=-2.

此问题是将对数方程转化为代数方程求解，这种转化是非等价转化，所以需对结论进行必要的修正.尽管如此，非等价转化仍能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.

以上通过9个问题简略谈谈化归方法在数学解题中的应用，实际上化归在数学中的应用是非常广泛的.化归方法解决问题的策略是从未知领域出发，向已知领域转化，各种转化的共同本质是变中有不变，转化是手段，揭示出不变的东西才是目的.良好的转化意识，有利于强化解决数学问题的应变能力，提高自身的思维品质和数学素养.

【参考文献】

[1]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2004.

[3]和洪云，和林功.数学解题方法研究[M].北京：经济科学出版社，2016.