证明特殊数列和式不等关系初探

孟铉济

【摘要】文章以已知数列为例，求证较为复杂的数列和式的不等关系，常规做法在解决问题时需要对原数列有一个较烦琐的构造，思维过程较为复杂，若采用特殊的放缩法，解题思维过程将变得简洁.

【关键词】数列和式；不等关系；证明

例1已知：a1=12，an=1（n+1）！.

求证：a1+a2+a3+…+an<1.

常规做法：

∵an=1（n+1）！=1（n+1）·n·（n-1）·…·3·2·1<1（n+1）n=1n-1n+1，

∴a1+a2+a3+…+an<1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1<1.

证明方法并不算复杂，经仔细研究，还能启发我们解题思路.任意给定一个真分数m，加上一个真分数m1，再加上一个真分数m2，…，若使mn满足相应的条件，总能证明他们的和小于一个常量.通过将mn与以上不等式左侧进行逐项比较，解题思路就清晰了.

这样可能过于抽象，我们不如从一个经典的模型谈起.《庄子》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法，这也相应了数学上的极限思想.假设我们现在要分割一个面积为1的正方形，每次取得它剩余面积的12，由“万世不竭”可知，我们所取得的面积恒小于1.如果每次取得的量与总剩余面积的比值相等，不一定是12，也容易得出取得面积之和恒小于1.下面用不等式來描述以上关系：

设每次取得剩余部分为X（X∈（0，1））；

那么第一次将取得的面积：X.

第二次：（1-X）·X；

第三次：（1-X）·（1-X）·X；

……

第n+1次：（1-X）n·X.

可得不等式A：X+X（1-X）+X（1-X）2+X（1-X）3+…+X（1-X）n<1.

A这个不等式是通过几何观察得到的，证明方法如下：

∵X∈（0，1），∴X<1，1-X﹥0，

两边乘（1-X），得X（1-X）<1-X.

两边加上X，得X+X（1-X）<1.

两边再乘（1-X），得X（1-X）+X（1-X）2<1-X，

X+X（1-X）+X（1-X）2<1，

……

不断对不等号两侧先乘（1-X），再加X；因为X∈（0，1），不等号不改变，即可推出不等式A.若将不等式A作为已知，就得到证明开头问题的新思路，具体如下：

∴2k2k+4的值随着k的增大而增大，1（k+1）2的值随着k的增大而减小，且k=3时，2·32·3+4>1（3+1）2，

∴2k2k+4>1（k+1）2（k≥3），ak+1

∴an

通过对比方法1与方法2，可以发现，对于较为复杂的数列和式，常规放缩在解决问题时需要对原数列有一个较烦琐的构造，思维过程较为复杂.相比之下，若先完成对不等式A的证明，只需要再对A中的X赋值即可.实质上这也是一种特殊的放缩法，但解题思维过程较为简捷.