高考中三类解析几何问题解析

2017-03-27吴小丽汤强

数学学习与研究 2017年1期

吴小丽+汤强

解析几何是高考必考内容之一，要解决这类问题一定要注重通性通法，深入理解转化思想和数形结合思想，将题目的条件准确翻译成数学语言和图形语言，读出题目的弦外之音，悟出命题意图.因此，解析几何的教学，不但要让学生学会几何元素的代数表示及代数方程的几何含义，而且应通过建立几何与代数之间的联系，帮助学生建立普遍联系的观念，拓展学生看问题的视野.从这个意义上讲，解析几何的教育价值是通过坐标法下几何与代数统一性的认识，帮助学生建立普遍联系的辩证观念，在运用代数方法研究几何问题的过程中，拓展学生分析、解决问题的能力.

一、軌迹问题

解析几何解答题每年高考固定要考一题，其中曲线轨迹问题的探求在高考中出现的频率最高.此类问题的解题步骤通常是通过建立直角坐标系、设出动点的坐标、依题设条件列出方程、代入化简整理即得曲线的轨迹方程.基本方法有定义法、待定系数法、参数法、相关点法等.求曲线方程是解析几何的基本问题或首要问题，通过求曲线方程可以考查曲线与方程及直线的概念与性质、圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线的关系等基本知识，考查选择适当的坐标系求轨迹方程的解析几何思想，以及求轨迹方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力，所以求轨迹方程仍然是经久不衰的高考热点.求轨迹方程的常见题型是曲线形状不明确或不便于用标准形式.

例1（2014年广东卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.

解（1）由题意知，c=5，ca=53，

∴a=3，b2=a2-c2=9-5=4，

∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.

（2）若x0=±3，则点P到椭圆C的切线中有一条斜率不存在，由于两切线垂直，则另一条切线斜率必为0，∴y0=±2.

∴点（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）在所求轨迹上.

当点P到椭圆C的切线斜率存在且不为0时，

设切线方程为l：y-y0=k（x-x0），

联立方程x29+y24=1，y-y0=k（x-x0），

消去y，整理得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，由于直线l与椭圆C相切，

∴Δ=182k2（kx0-y0）2-4（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，整理，得（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0，

又因为两条切线垂直，∴k1k2=y20-4x20-9=-1，

∴有x20+y20=13，点（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）也满足x20+y20=13，

故动点P的轨迹方程为x2+y2=13.

二、定值问题

在高考中经常出现探讨定值的问题，可以为证明题，也可以为解答题.求定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示出来，然后计算出相应结果与该参数的取值无关；也可以将变动元素置于特殊情况下，猜想出定值，然后再予以证明.通常需要与代数、三角函数等相关知识相结合，注意转化思想、数形结合思想、韦达定理及点差法等“设而不求”的数学思想方法在解题中的灵活运用.其中若涉及“中点弦”或“弦中点”以及求解与斜率有关的问题，经常使用“韦达定理”或者“点差法”求解，可避免直线与椭圆方程联立，减少计算量.

在这个前提下进行逻辑推理，也可以直接用韦达定理根据已知的等量关系建立参量的方程，再利用判别式等限制条件求值或说明与假设矛盾，注意在求出值时，一定要从范围上进行验证是否成立，从而解决此类存在性问题.

例3（2007年宁夏卷）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q，其中k∈-∞，-22∪22，+∞，设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.

解设P（x1，y1），Q（x2，y2），则OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），

设直线l的方程为：y=kx+2，由x22+y2=1，y=kx+2，

得12+k2x2+22kx+1=0，

∴x1+x2=-42k1+2k2，

y1+y2=221+2k2，

又A（2，0），B（0，1），∴AB=（-2，1）.

假设向量OP+OQ与AB共线，则x1+x2=-2（y1+y2），

即-42k1+2k2=-2·221+2k2，

∴k=22，与k∈-∞，-22∪22，+∞矛盾，

故不存在满足条件的k.

上述简单的例子说明了，数形结合、函数思想、转化与化归、韦达定理及点差法等数学思想方法在解决平面解析几何中轨迹问题、最值与定值问题、取值范围问题、存在性问题等的重要性.根据解析几何“小题灵活，大题综合”的特点，备考时应注重通性通法，强化数形结合意识、设而不求意识、转化意识，从一个高视角全面地看待问题，进而解决这类高考中综合性较强的解析几何问题.

【参考文献】

[1]孙运娜，田发胜.高考中的解析几何问题[J].中学生百科：高中学习，2013（11）.

[2]李鸿昌.2015年高考全国卷Ⅱ解析几何试题的深入思考[J].数学通讯，2015（18）.

[3]马丽拉，赵运河.2014年高考数学解析几何评析[J].云南教育（中学教师），2014（11）.

[4]王玉良.看解析几何高考中的“七个着眼点”[J].考试：高考数学版，2007（Z4）.

[5]陈中峰.体现解析几何核心内容及教育价值的高考试题赏析[J].中学数学，2013（11）.

例2（2015年全国卷Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴.l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

解设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由y=kx+b9x2+y2=m2，

消去y，整理得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，

∴x1+x2=-2kbk2+9，y1+y2=k（x1+x2）+2b=18bk2+9.

∴xM=x1+x22=-kbk2+9，yM=y1+y22=9bk2+9.