统计与概率主线之概率的主线分析

林姗+李碧荣

【摘要】本文以统计与概率主线中的概率主线为分析对象，从概率的地位与作用、与其他数学内容的区别和联系、概率内容和要求的变化三个方面来分析概率主线，进而给出几点教学建议.

【关键词】概率；随机现象；教学主线

【基金项目】广西研究生教育创新计划资助项目——提高教育硕士基地实习实效性研究（JGY2015102）.教育学博士学位点建设经费资助科研项目——基于大系统结构的硕本互促发展机制研究.

现代社会的工作、学习和生活中充满着大量的数据和随机性，学习统计与概率已成为了必然.概率作为统计与概率主线中的一个重要部分，也是中小学数学教育教学的重要内容之一，下面我们主要探讨统计与概率主线中的概率部分.

一、概率的地位与作用

概率作为统计与概率教学主线中的一个重要组成部分，以客观世界的随机现象为研究对象，与日常生活密切相关，为我们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时也为统计学提供了理论基础[1].

（一）从生活上看

概率以随机现象作为研究对象，而随机现象在日常生活中随处可见，其实我们早已在日常生活中（如抽签、投资等）感受过了随机现象，只是没有系统的学习和认知，将这些现象放进数学中，概率学就是研究它们的数学工具.

（二）从课程标准上看

在义务教育阶段，数学课程内容主要分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四个部分[1].高中阶段，则将数学课程分为必修课程和选修课程，其中必修课程是每名学生都必须要学习的数学内容，这一部分内容分为五个模块，算法与概率统计是其中一个模块[2].无论哪个阶段，统计与概率都单独占去一块内容，这说明了统计与概率学习的重要性，并且《课标》中还强调统计与概率的基础知识已成为一个未来公民的必备常识.概率作为统计与概率主线中的一个重要部分，也占据重要地位，并且它是中考、高考必考内容之一.

（三）从发展学生的角度上看

学生通过对概率的学习，认识到现实世界中的随机现象的发生是既具有偶然性又具有必然性的，有助于学生以辩证的观点来理解和处理现实世界中的不确定现象，形成科学的价值观.此外，由于概率与现实生活的联系较为密切，且其自身具有较强的应用性，故有助于培养学生“数学来源于生活又服务于生活”的应用意识.

二、概率与其他数学内容之间的区别和联系

数学学科之间是相互联系的，不是独立的，也不是分散的，有着它们的相似之处.如数学中存在着线段的长度、物体的体积等等的度量，其实概率也是一种度量，只不过是用来度量随机事件发生的可能性大小的，与这两种度量相类似，但又有着差别，所以说概率与代数、几何之间又存在着差别.

（一）研究对象的不同

代数、几何等研究的是数与数量关系或图形与空间等这类结果固定的对象，而概率主要研究的是随机现象，看不见，摸不着，不像几何图形那么直观[3].简单来讲，代数与几何是研究“确定性”数学的，而概率是研究“随机性”数学的，前者较多依赖于逻辑推理，注重发展学生的数感、运算能力、空间观念等，后者则更多地运用到合情推理，注重发展学生的辩证观念.[4]

（二）研究结果的不同

概率与代数、几何之间的研究结果的不同主要在两个方面.一個是结果的“确定性”与“不确定性”；另一方面在于度量的值的范围.

代数、几何等研究的是数与数量关系或图形与空间等这类结果固定的对象，如“1+1”的计算结果是2，概率研究的是随机现象，其发生的结果具有偶然性和必然性，偶然性表现在事件发生的结果是随机的，例如抛一枚硬币，其结果可能正面朝上，也可能反面朝上；其必然性则表现在通过大量的重复试验，事件发生的频率稳定于某个常数的附近，如大量重复地抛一枚硬币，正面朝上的频率稳定在0.5左右.

再者，概率与几何的度量虽从性质上看是相似的，但它们度量的结果是有差别的，概率度量的值最大为1，最小值为0，永远不会有超过1或小于0的结果存在，而在几何中的度量却不受这种结果在0到1之间的限制，但要求结果不为负，而代数中数的运算结果则可以扩展到整个实数域.

三、概率内容与要求的变化

《数学课程标准》是国家对基础教育数学课程的基本要求和规范，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据[5]，概率是贯穿在整个中小学数学教学中的，因此我们需要从《课标》中对概率内容的要求来看概率内容的变化.为了更好地进行对比和分析，将教学目标分为对概率概念的目标要求和对概率求法的目标要求两个部分，根据《课标》中对不同学段概率内容和教学目标的要求，各阶段概率内容与教学目标如下.

（一）小学阶段

内容：人教版五年级上册第4章——可能性.

教学目标：

1.有关概念方面：结合具体情境，了解简单的随机现象.

2.有关求法方面：能列出随机现象中所有可能发生的结果；通过活动，感受随机现象结果发生的可能性有大小，能对简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述.

（二）初中阶段

内容：人教版九年级上册第25章——概率初步，包括25.1随机事件，25.2用列举法求概率，25.3用频率估计概率.

教学目标：

1.有关概念方面：

（1）理解随机现象，初步了解古典概型；了解事件的概率.

（2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.

2.有关求法方面：能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果.

（三）高中阶段

内容：

人教版高中数学必修3——概率，包括3.1随机事件的概率；3.2古典概型；3.3几何概型.

人教版高中数学选修2-3——随机变量及其分布列，包括2.1离散型随机变量及其分布列；2.2二项分布及其应用；2.3离散型随机变量的均值与方差；2.4正态分布.

教学目标：

1.有关概念方面：

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；了解概率的意义及频率与概率的区别；了解随机数的意义，初步体会几何概型的意义.

（2）理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念；借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；了解条件概率和两个事件互相独立的概念.

2.有关求法方面：通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率.

（四）关于不同学段概率的教学内容和教学目标，具体从以下几个方面进行比较

1.从教材内容安排上看不同阶段概率内容的变化

在教材内容的安排上，对于概率内容的编排符合螺旋上升原则，在小学阶段仅五年级接触了“可能性”.初三在给出随机事件定义的同时开始接触到一些简单的概率（通常是简单的古典概型）求算方法，实际上义务教育阶段对概率的学习要求较低.而高中阶段，除了加深对随机现象和概率的认知和理解，还重视随机事件概率的求算，还新增了几何概型、条件概型以及增加对离散型随机变量及其分布列等内容的学习.其中几何概型是必修3的内容，高中的每一个学生都要学习，而后两个内容是选修2-3的内容，一般为文理分科后理科生所学的内容.

2.不同阶段对概率相关概念教学目标的变化

小学阶段仅要求了解随机现象，并没有具体给出“可能性”的定义，也没有给出概率的定义和学习概率求算.初中阶段对“随机现象”的要求从小学的“了解”上升为“理解”，并开始接触到概率及其求算方法的相关内容.高中阶段还要求了初步体会几何概型的意义，对于理科生还增加了随机变量及其分布列等概念，但是大多也停留在“了解”层次，整体的要求其实并不高.

初、高中阶段虽分别给出了随机事件及其概率相关定义，但初中阶段对定义的刻画比较通俗，例如概率的定义“对于一个随机事件A，刻画其发生可能性大小的数值，就称为随机事件A发生的概率”，而高中阶段不仅给出了概率的统计定义、古典定义和几何定义三种概率定义，描述上也更为严谨、数学化.此外，初中要求“知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率”，这实际上也开始接触了概率的统计定义，但是初中阶段仅作为结论，并未对概率的统计定义进行详细的描述.

3.不同阶段对概率求法的变化

小学阶段并不要求概率的具体求算，仅要求列出可能发生的结果.初中阶段才开始接触简单的概率的求算，求算的方法也比较简单，通常采用列举法、列表法和树状图法，但到了高中就开始尝试条件较为复杂的概率的求算，会运用到一些概率运算公式，有些题目甚至需要结合排列组合来进行综合运算，选修2-3中还增加了离散型随机变量及其分布列的运用，这也意味着到了高中阶段开始对概率的求算有更高的要求.

四、教学建议

新课标中认为概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义[1]，而了解随机现象，关键不在学生是否能准确判断一个事件发生的可能性，可能性这部分内容浅显易懂，一般学生都能够准确判断出事件发生的可能性，且小学已做了相关的学习，因此教学上不必花费过多的时间在让学生判断事件发生的可能性上，而是在于让学生正确理解随机事件发生的随机性及规律性，这也是学生理解的难点，因此在教学中教师应当注意以下几个问题.

（一）注意不同阶段强调条件上的取舍

从小学到高中三个不同阶段，对于一些语言的表述上也是有变化的，例如小学将骰子描述为“六个面上分别写着数字1～6的正方体”，初中阶段还强调“质地均匀”，而高中阶段又仅描述为“骰子”，这样一种变化与不同阶段学生心理和认知变化的不同不无关系，小学生认知水平较低，对抽象的事物难理解，需要具体说明，但又不宜解释过多条件，因为信息量一多他们无法接受.初中生认知比小学生成熟点，但处于思维跳跃、反叛的阶段，不强调质地均匀的条件，他们会拿“质地不均匀”的情况做比较，产生理解上的混乱.而高中生思维趋于较平稳的状态，加上初中已强调了相关条件，他们能理解，因此不必过于强调质地均匀不均匀的条件.即在教学中教师要懂得把握重点，该解释的要解释，该强调的也务必要强调，不需要过多强调的也要适当地舍弃.

（二）注重引导学生正确理解随機现象

随机现象的不确定性主要体现在试验结果的不确定上，与一些现象，如说一个人长得高或矮、漂亮或丑陋等等不同，这些现象的不确定是由于对现象本身定义的模糊不清造成的，即这些现象本身并没有明确的界定，见仁见智而已，我们将之称为模糊，而不是概率所研究的随机.

而对于类似存在不存在外星人这样的事件，虽与随机现象一样都是结果是不确定的，但对外星人是否存在的结果的不确定，是因为我们并没有研究出答案，若有答案，那么这个答案是确定的，有就是有，没有就是没有，不存在结果的偶然性.因此，随机现象结果的“不确定性”要强调在一定条件下进行重复试验，实验前无法预知结果是哪个，但并不是所有无法预知结果的事件都称为随机事件[3].

由于随机现象较抽象，学生容易出现类似上述理解上的偏差和困惑，但随机现象是学习概率的基础，学生若对随机现象不能正确理解，就难以进行概率的教学，因此教师一定要解释清楚随机现象.

（三）鼓励学生动手实验

正确区分随机事件发生的随机性和规律性是概率学习的一个难点，可能会有学生因没有正确区分这两者而产生类似这样的误解：随机性体现在中奖概率为110 000，买1张可能中也可能不中，规律性体现在我买10 000张奖券就必定能够中奖.突破这个难点的方法是化抽象为具体，让学生有直接的感知，具体操作在人教版必修3的教师用书中有解释，在这就不多赘述，但需要注意的是，虽然现在计算机普及，但初、高中教材中都给出了掷硬币的实验，强调让学生亲自动手实验，因此教师不可为了节省时间直接使用计算机来代替让学生亲自动手实验.

（四）不要过于注重计算

新课标中指出，古典概型的教学不要把重点放在“如何计数”上，这样容易导致学生能听懂，但不会做题.计算随机事件的概率作为高中概率学习的一个重要内容，无疑在高中概率教学中占据着一个较大位置，但是它不等同于简单的计算题，不是单纯套公式进行计算，教学应当注重让学生经历从特殊到一般地概括出具体的概率模型的过程，培养学生识别概率模型的能力[6]，加深学生对概率模型内涵的理解.

学生对概率的学习从五年级开始接触概率起，经历了三年左右的空白期后，在九年级继续概率的学习，时间的跨度虽然比较长，但义务阶段的概率学习难度并不算大，可是紧接着的高一就又要加深对概率模型的学习，由于高中数学更为严谨、抽象而导致学生学习困难，不仅要处理好确定性思维到随机性思维的转变，而且增加了新的内容，这意味着难度和容量的双重增加，无形中给学生的学习和教师的教学带来压力，因此把握好概率内容初、高中的衔接是比较重要的.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]程海奎.概率与统计难点分析及教学建议[J].中国数学教育，2010（06）.

[4]贺清伦.初中数学“统计与概率”教学主线分析[OL].http：//www.docin.com/p-1418516690.html，2016-1.

[5]王书臣，蒋永丽，刘长华.新课程教学设计（数学）[M].沈阳：辽宁师范大学出版社，2002.

[6]张丹.新课程理念下的统计与概率教学[J].数学通报，2005，44（1）.