口诀教学法在线性代数教学中的应用

朱夺宝

【摘要】在线性代数教学中，运用口诀教学法提高教学效果.针对行列式性质、初等变换、矩阵乘法、求解线性方程组、初等变换法求逆等给出相应有效又简洁的口诀.

【关键词】口诀；教学法；线性代数

线性代数课程是理工科学生的基础课程，教学中发现学生在一些计算中容易弄混.尤其是新疆高校中少数民族大学生在学习线性代数中困难比较多.为了提高学生学习的兴趣，帮助学生掌握基本的计算方法，在教学中采用口诀教学法，取得了良好的效果.

一、口诀教学法

一些数学概念学生难以理解、记忆，如果用口诀或者顺口溜形式，既起到点石成金的效果，又能调节课堂教学气氛，达到让学生由“苦学”向“乐学”转变的效果.幽默风趣简洁明白的“口诀”，有利于学生对知识的记忆、理解和巩固.

二、口诀教学法的使用

（一）矩阵乘法口诀

设矩阵Am×s=（aij）m×s，Bs×n=（bij）s×n和C=（cij）m×n，矩阵乘法AB=C，结果矩阵C的元素cij定义为

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj.

定义式给学生解释为结果矩阵C中的元素cij是由前矩阵A的第i行与后矩阵B的第j列对应元素乘积的和.

矩阵乘法的口诀为“矩阵乘法，一个式子两句话.一个式子是Am×sBs×n=Cm×n，两句话是‘前列=后行，前行×后列”.对口诀的解释，通过式子明确乘积中三个矩阵的类型关系.两句话包含了三重意思，“前列=后行”是“前矩阵的列数等于后矩阵的行数”的简化，说明两个矩阵只有“前矩阵的列数等于后矩阵的行数”时相乘才有意义，即相乘这件事情可以做；“前行×后列”第一重意思是判定结果矩阵类型是“前矩阵的行数乘以后矩阵的列数”，明确结果矩阵的元素个数及排列方式，即知道相乘这件事情最终的结果形式；“前行×后列”第二重意思是说明如何相乘，是“取前矩阵的行与后矩阵的列对应元素乘积的和”的简化，即确定相乘这件事情过程如何做.

通过口诀中两个式子包含的三重意思，引导学生遇到矩阵乘法时，一考虑能否相乘，是否有意义，二考虑结果类型，明确有多少个元素及相应位置，三是具体计算出元素进行填空.

（二）行列式性质和初等变换中的口诀

学习行列式的计算时，有性质“把行列式的某一列（行）的各元素乘同一数后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变”.以数k乘第j行加到第i行，记作ri+krj，计算过程写为D=ri+krjD1，既行列式D经过计算得到行列式D1.对于这个性质的使用，口诀为“前变后不变，前者系数必须为1”.在计算过程ri+krj中，ri是写在前面的，那么改变的是ri，其余的行不变；ri前面的系数必须为1，是为了保证前后矩阵D与D1的结果相同.

學习矩阵的初等变换，“把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去”，第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj，计算过程写为Ari+krjA1，既矩阵A经过变换得到矩阵A1，一般情况下矩阵A与矩阵A1不相等，中间的符号“→”表示变换的方向.矩阵的这个初等变换记忆口诀为“前变后不变，前者系数一般为1”.在计算过程ri+krj中，ri是写在前面的，那么改变的是ri，其余的行不变；ri前面的系数一般为1，若写为lri+krj，实际上可以看成是进行了两步初等行变换，第一步为lri，ri改变后进行第二步ri+krj.

对于“ri+krj”这个写法，在行列式的性质和矩阵的初等变换中都出现，书写形式完全一致，理解上共同点都是“前变后不变”，区别是“前者系数是否必须为1”.在对概念理解的基础上，在计算中为防止混淆统一简单记忆为“前变后不变，前者系数为1”.

（三）线性方程组求解

线性方程组Ax=b的求解是线性代数教学中的一个重点，要求学生必须掌握.为了让学生能够快速掌握并且延长记忆时间，总结出线性方程组求解的口诀为“增广变最简，只用行变换，等价方程组，一般形式解，最后向量解”.口诀中“增广”是指线性方程组的增广矩阵（A，b），计算的第一步是“只利用行变换将增广矩阵变换为最简阶梯形”，简单记忆为“增广变最简，只用行变换”.第二步，利用得到的最简阶梯形作为增广矩阵写出原方程的等价最简方程组.第三步，写出方程的一般形式解.第四步，由一般形式解写出向量解.

（四）初等行变换法求逆

对n阶方阵A，利用行变换法求逆，口诀为“胖矩阵行变最简，左单位则右为逆”.首先构造“胖矩阵”（A，E），只利用行变换将（A，E）化为最简阶梯形.若最简阶梯形左半部分是单位矩阵，则右半部分是方阵A的逆矩阵.如果化为最简阶梯形，左半部分不是单位矩阵，则方阵A不可逆.在这里对矩阵（A，E）命名为“胖矩阵”，非常形象有趣，有利于学生记忆.对学生要强调必须是使用行变换，不能使用列变换，故口诀中是“行变最简”，即通过行变换化为最简阶梯形.

三、口诀教学法的注意事项

（一）口诀简单易记

口诀内容文字尽量简单易记，能够突出重要信息，让学生在理解基本概念方法的基础上记忆.口诀不能带有歧义.比如求解线性方程组“增广变最简，只用行变换，等价方程组，一般形式解，最后向量解”，学生一般会记住第一步把增广矩阵化为最简阶梯形，但是个别学生会出现使用列变换的情况.所以口诀中强调“只用行变换”.

（二）用口诀又不唯口诀

并不是所有内容都可以用口诀表达，口诀在文字和格式上有一定的局限性，有些口诀不能全面或准确表达内容.口诀教学只是一种辅助性教学，必须适可而止.一堂优质课还要注意其他教学原则的贯彻、教学媒体的选择与教学方法的运用.