关于一道极限计算题的一题多解研究

陈勇+李志文

【摘要】本文通过对一道极限计算题的深入分析，借助等价无穷小替换、洛必达法则、微分中值定理、泰勒公式等方法，引出了求解该类特殊极限问题的常用思路，进而达到一题多解，融合知识的研究目的.

【关键词】等价无穷小；拉格朗日中值定理；导数定义；泰勒公式

在高等数学中，极限理论是微积分理论中极其重要的基础内容，是微积分学的灵魂.极限运算能力的强弱直接决定着学习者的微积分水平高低，掌握极限的多种求解方法，将微积分知识巧妙融合，是学好微积分课程的必由之路，也是微积分爱好者的必备良技.

极限的求解方法多种多样且富于变化，一些特殊类型的极限计算题，更是具有一题多解，趣味无穷的特點.有这么一道极限计算题 limx→0ex-esinxx-sinx，考察易知其为00型极限类型，且待求极限函数ex-esinxx-sinx是典型的函数增量比值形式，使人极易联想到与此有关的导数定义、拉格朗日中值定理等概念，而由函数f（x）=et也很容易联想到“x→0时，ex-1等价于x”，因此可考虑利用等价无穷小替换、洛必达法则、微分中值定理、导数定义、泰勒公式等方法求解极限.

【解法1】采用等价无穷小替换求解00型极限

【小结与反思】

在高等数学众多知识点中，学习者应勤思巧练，举一反三，学会多角度、多层次、多路径研究问题，掌握思路和方法，逐步提高分析结构、融合知识、解决问题的能力，这将极大地帮助学习者加深对知识的认知和理解，从而达到事半功倍的学习效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]吴传生.经济数学——微积分[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009.