实施概念教学五步走，突破平方根教学难点

张青

[摘 要] 数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，概念教学是中学数学教学的重要内容，是基础知识和基本技能教学的核心. 正确理解概念是学好数学的基础. 概念是数学内容的基本点，概念的学习是数学学习的核心，概念课的教学是教师落实基础的关键，是学生打好基础的首要环节. 概念课也是中学数学教学中的一种主要课型，本文以概念教学的基本步骤浅谈浙教版七年级上“3.1平方根”教学.

[关键词] 数学概念教学；巩固概念；形成过程；平方根

在本校的一次“3.1平方根三段两反思”教研活动中，陈老师在笔者所在班级开设了一节公开课，学生课堂反应灵敏，回答积极，课堂答题正确率高，教学内容充实，窃喜学生对这节内容掌握得不错. 课堂作业批改时却发现学生有多种错误，心里甚是疑惑，于是作业订正课和学生来了一次对话. （典型错误如图1）

师：昨天的课你们没有听懂吗？

生（齐）：听懂了.

师：那昨天的作业怎么错了那么多？

生（齐）：回家做作业时我们都忘了. （一脸无辜）

反思？摇 对于本节概念教学，造成学生作业错误率较高的原因主要是学生没有掌握概念本质，教师只是被学生的课堂反应所迷惑了. 课改下我们的课堂形式多样，内容充实、题量大，很多老师求新求异，学生大多还是在模仿，被动地接受新知，根本没有理解概念本质，所以学生很快便遗忘了新知. 教师只有把概念讲清楚，学生真正理解了，才能一帆风顺地解题.

“3.1平方根”概念教学课不仅抽象，而且是教学难点. 由于数学概念的抽象性，数学符号也高度抽象，不仅使得学生学习这部分内容时普遍感到比较困难，而且教师在教学这些内容时，也觉得不满意. 这样的抽象概念课“传统五步法教学”还是值得借鉴. 概念课教学不应该追求花哨偏难，概念教学是很多课程的基础，因此，在教研组议课时对陈老师的课进行了修改，本文以浙教版“3.1平方根”改进课教学为例，谈抽象类概念教学课的五步走.

情境激发，巧设问题，引入概念

初一学生的认知以直观为主，在教学中应创设一定的直观情境，借助问题引导，让学生形成过渡，从而认识概念. 引入是概念课教学的第一环节，概念教学的引入方法有多种，一个好的问题情境对学生理解新的数学概念、形成新的数学原理、产生新的数学公式，或蕴含新的数学思想会有积极的促进作用，更能激发由情境引起的数学思考. 例如“3.1平方根”概念教学引入：教师通过让学生折纸活动顺势引入以下问题，激发学生探求新知的欲望.

问题？摇 如图2，有一个边长为2的正方形.

（1）你能用它折一个面积为1的正方形吗？说说你是怎么折的. （答案如图3）

（2）你能用它折一个面积为2的正方形吗？若能，说说你是怎么折的. （答案如图4）

（3）你知道这两个面积为1和2的正方形的边长分别是多少吗？

这样的导入揭示了新知识产生的背景，同时又具有较强的认知冲突. 面积为1的正方形的边长，学生很容易根据平方的意义求出，但面积为2的正方形的边长，学生就不容易求出了. 这样的情境激发了学生的好奇心，调动了学生学习的积极性，从而引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于1和2的数. 教师顺势引出平方根的概念，利用学生熟悉的情境和知识使这样一个抽象概念更容易理解.

剖析概念，突出本质，发展学生

的抽象思维

数学概念是用精练的数学语言表达出来的. 在教学中，抽象概括出概念后，还要注意深入剖析概念的定义，帮助学生进一步理解概念的含义，这一环节是这节课的重点. 像“平方根”这类数学名称，直接讲授，抽象难懂，学生不易接受，因此对平方根概念的分析要舍得花时间弄清概念的本质以及概念的符号语言，并强调规范书写. 本节课的主要内容是让学生理解平方根和算术平方根的含义，并能熟练地用文字语言和数学语言两种不同的方法表示出来，掌握平方根的符号表示，能正确区分平方根与算术平方根，知道两种符号的含义，并熟练求一个数的平方根. 教师应充分让学生理解文字语言的意义，并准确、严格地写出符号语言. 如平方根概念的文字语言：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 为了让学生充分理解文字语言的意义，应多举一些例子，如教师安排了如下两个问题：

（1）请分别说出49，4，0的平方根；

（2）什么数的平方等于-4？

解 （1）因为（±7）2=49，所以 49的平方根是±7. 因为（±2）2=4，所以4的平方根是±2. 因为02=0，所以 0的平方根是0.

本环节，教师首先让学生对平方根概念进行正说与逆说（±7是49的平方根，49的平方根是±7），加深其对平方根概念的初步理解，并用具体的例子帮助学生形成抽象思维. 在学生掌握了平方根概念的基础上，教师进一步提出问题：我们所学过的数都有平方根吗？如果有，有几个？本环节安排学生以小组形式进行讨论研究，这里其实涉及分类讨论的思想，教学中不仅要注重对知识的讲授，还应对学生进行数学思想方法的渗透. 学生很快就讨论出了只有非负数才有平方根这一结论. 接着，笔者让学生观察并总结平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 平方根的概念也是一个描述性的概念，具有抽象性的特点. 在教学过程中，我们一定要揭示概念的发生过程，逐步地理解它、掌握它， 抓住概念的本质属性，让学生经历从量变到质变的过程，从而突破抽象，引导学生回忆学过的互逆运算，使学生意识到本章的学习是前面所学知识的一个再发展. 开平方和平方运算的关系：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方是平方運算的逆运算. 接着，教师提出问题：平方根概念的符号怎么表示？

学生对平方根概念的理解经历了由文字语言到符号语言的转化，由直观到抽象的转化，然后在上面叙述的基础上提出平方根概念的符号表示方法后，再次利用所举的上列等式，提出问题：请你用符号语言表示等式右边各数的平方根，并计算出结果. 通过学生正、反两面多次的叙述，达到了由量变到质变的过程，帮助学生建立了符号感.

学用结合，巩固新知，理解概念

本质

对于任何一个概念，新知形成以后都要加以巩固，巩固应该分两块，一是精选例题，然后分析、理解题意，明确解题方向，再师生互动解题，并规范步骤，最后总结反思；二要跟踪练习，及时巩固. 所选例题要具有典型性和代表性，课本的例题都是精挑细选的，教师要认真分析课本上的例题，体会编者意图，发挥好例题的功能，也可以根据学情适当增减. 分析例题时，要明确各例题之间存在着某种逻辑联系，只有這样，才能构成一个整体，完成概念的应用与巩固. 我们既要理解例题的内涵，又要把握几个例题的整体关系. 本节例题教学如下.

这里只选第（2）小题规范书写，教师在课堂上每一小题都要求规范书写，也可示范一题然后学生说、教师写，这个例题既涉及整数，又有分数和小数，加深了学生对平方数的熟悉度，既有文字语言，又有符号语言，让学生更进一步理解了平方根的意义. 教师讲完例题后还补充了一个问题：11的平方根是多少？让学生明确了不是平方数的平方根的表示形式，进一步理解平方根的符号意义. 例题解完还应回过头来梳理一下解题过程，把解题格式程序化，便于操作. 师生完成例题后，配置了模仿性的练习，如下：

练习题让学生在练习本上规范书写，再投影展示写得比较规范的同学的作业，以及其他出现的问题，教师在巡视检查中发现了一些典型错误，此时应立即找出原因并予以纠正，并进行总结与反思. 课堂上，有时错误资源可以很好地加以利用. 在概念教学中，决不能单纯地进行抽象的概念挖掘，必须注重应用，体现学以致用的教学原则，通过应用，让学生进一步理解概念、深化概念、巩固概念，掌握运用概念解题的方法. 课堂练习不仅是学生练习、巩固的必要过程，而且是教师检测学生对所学内容掌握程度的一个重要手段，是收集学情信息，及时反馈的一条重要途径. 待学生熟悉平方根的概念和意义之后，教师便可以水到渠成地直接引出算术平方根的概念和意义了.

概念：正数的正的平方根称为算术平方根；0的算术平方根是0.

熟练平方根和算术平方根的概念后，教师需进一步让学生理解概念的本质意义，可设置如下例题（并要求学生会读）.

综合运用，拓展提升

概念教学中要通过一定的练习来掌握、巩固概念. 练习也是学生掌握基础知识和技能，培养和发展学生思维能力的重要手段. 练习要明确，具有针对性，突出重点，帮助学生理解已学的概念，发展学生的思维. 例如，为了帮助学生巩固平方根概念和形成基本技能，在每一个例题后我们都设置了针对性练习；为了帮助学生分清容易混淆的概念，可以设置对比练习， 数学的很多概念，它们之间既有联系又有区别，学生容易混淆，教学中教师应引导学生进行比较，区分两种概念的异同. 针对第一节课作业本上出现的错误——平方根和算术平方根的混乱，笔者在本节课设置了表1，以区分算术平方根和平方根之间的关系. 教师先让学生填表，师巡视，再找有典型错误的同学进行板演.

为了培养学生的数学思维能力，实现由技能到能力的转化，在学生已基本掌握平方根概念和初步形成一定的技能之后，笔者设置了如下一组综合练习，使学生进一步深化平方根的概念，提高其解题的灵活性.

1. 判断正误，并把错的改正.

（1）-9的平方根是-3.？摇（ ）

（2）49的平方根是7.？摇（ ）

（3）4的平方根是±2.？摇（ ）

（4）7是49的平方根.？摇（ ）

2. 填空.

（1）若x2=16，则x=______.

（2）已知2a+3的平方根是±3，则a=______.

3. （1）你知道的平方根是多少吗？

（2）已知某个数的平方根是2a+3和3-5a，求这个数.

1题可以利用反例对平方根的概念进行巩固，让学生在辨析的过程中巩固概念、掌握概念. 这三道题可以让学生先独立思考，探求解题方法，让学生体验一下方法形成的过程，经历探求的途径. 在解题方法与途径的探究过程中，教师要给予时间和空间，在这个时间和空间里，教师只能是启发，引导他们去实践，通过师生互动、思想碰撞，来达到交流和沟通. 当学生深刻理解了平方根的意义后，本组习题学生就不难找到解题途径了. 接着，可让学生先尝试解决.

课堂小结，深化提高

课堂小结对一节课起着画龙点睛的作用，应该从知识体系和思想方法上都给予总结，可以采取开放式，让学生自己谈感受，教师引导学生抓住本质，进行有效总结. 在平方根这节课中，教师可从以下几个方面进行课堂小结.

1. 平方根：±（a≥0）？摇和算术平方根：（a≥0）的符号语言以及意义.

2. 平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

3. 思想方法：分类讨论思想.

最后，教师抛出一个问题：你现在知道面积为2的正方形的边长了吧？想一想：这个边长介于哪两个相邻整数之间？这个问题既解决了课前的情景创设，又引发学生积极思考，使学生意识到此问题的实质是求1和2的平方根，应用所学知识得以解决，起到了前后呼应的作用，而且为下节实数的讲解做了铺垫，能让学生体会到知识之间的连续性.

总之，概念课的教学应精心设计，努力做到：生动恰当地引入概念；准确细致地讲清概念；在灵活运用中巩固概念；在综合运用中深化概念. 只有这样，才能提高概念课的教学效率. 特别是对于基础较差的学生，教师要用基础性的问题来引导他们应用，在分析和解决问题中要鼓励他们描述概念，解决问题后还要进行总结. 教师在教学过程中也不应只注重对知识的讲授，还应该注意在教学过程中对学生进行数学思想方法的渗透.