以“圆周角”为例谈智慧问题让教学更加流畅

摘要：课堂教学是一门艺术，要求教师创造性地组织教学.采取智慧问题驱动的方式进行教学，既能让数学课堂在师生互动的学与教的过程中展示智慧，也让数学课堂环环相扣，流畅自然，回味无穷.本文以“圆周角”第一课时教学过程为例，具体说明智慧问题如何让课堂教学更加流畅.

关键词：智慧问题；课堂教学；流畅；圆周角

作者简介：巫锡富（1980-），男，江西宁都人，本科，中学一级，从事中学数学教学研究.一、教学主要过程与评析

1.承前启后，引入概念

师：请同学们观察，图中∠AOB叫什么角（教师用几何画板展示图1）？它的特点是什么？有哪些性质？

生1：圆心角，它的特点是顶点在圆心.

生2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反之，在同圆或等圆中，等弧所對的圆心角也相等.

师：将∠AOB的顶点往上移动，会出现哪些类型的角？

生：我分为顶点在圆内、顶点在圆上、顶点在圆外三种类型的角.（教师几何画板展示图2.）

师：我很行赏你的分类.大家观察图2②，这个角有什么特征呢？

生：这个角的顶点在圆上，并且这个角的两边都和圆相交（教师板书并画图3）.

师：你们对这个角的特征归纳得很准确，这样的角我们称之为圆周角（教师出示课题）.

评析教师从已学圆心角入手，通过“移动∠AOB的顶点”自然引入新知.在移动圆心角顶点的教学过程中，动态思想促使学生利用点与圆的位置关系自觉生成了两个非圆周角的图例，同时又把正确理解圆周角的学习映射其中，同时潜移默化地渗透了类比和分类讨论思想. 教师要创造性地利用教材.教材开门见山直接给出圆周角的概念，如果照搬教材直接进行圆周角概念的进行讲解，那课堂就平淡无奇、索然无味，激发不了学生的学习热情，点燃不了学生的智慧.教师正是创新性地利用教材，在学习内容的衔接之处、知识点上、数学思想与方法上进行巧妙的设问，环环相扣，使课堂顺着学生的思维惯性自然生成.

2.推理证明，归纳性质

【片段1】

师：我们把∠BAC称作弧BC所对的圆周角.请问弧BC所对圆心角有几个？所对的圆周角又有多少个？

生：弧BC所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个.

师：为什么弧BC所对的圆周角有无数个呢？（图3）

生：因为圆周角顶点可以在优弧BDC上移动.

师：既然弧BC所对的圆周角有无数个，你能否画出几个你认为不太一样的圆周角？

师：对比图4①、②中圆周角，你觉得什么地方不一样？

生：第一幅圆心在圆周角∠BAC的内部，第二幅圆心在圆周角∠BAC的AC边上.

师：还有不一样的吗？

生：还有圆心在圆周角∠BAC的外部的情况.

师：这三种情况你们是怎样找出的呢？

生1：我是画呀画，画出来的.

生2：其实弧BC所对的圆周角的顶点可以从B点顺时针运动到C点，不包括B、C两点.这样依次出现的圆心在∠BAC的外部，圆心在圆周角∠BAC的AC边上，圆心在圆周角∠BAC的内部的三种情况.

评析学生已经学习了弧BC所对的圆心角只有∠BOC，教师承接已学知识，过渡性地提出“弧BC所对的圆周角有多少个？”，紧接教师让学生画出不一样的圆周角.两个看似平淡的问题恰恰都预设在学生的最近发展区，问题的提出以知识点和数学思想方法作为教学的落脚点，有利于学生数学核心素养的培养.第一个问题引导学生用动态思想和圆周角概念进行思考，第二个问题驱动学生对弧BC所对的无数个圆周角进行归类，为接下来的圆周角性质的证明做好了铺垫.教师通过数学问题及与学生的互动，使课堂处于一种“自觉、和谐、圆融的境界”[1].

【片段2】

师：弧BC对了无数个圆周角，他们大小一样吗？和弧BC所对的圆心角有什么关系呢？（教师先让猜想后让学生动手测量.）

生：通过观察、猜想、测量，我发现弧BC所对的圆周角都等于弧BC所对圆心角的一半.

师：我们如何通过推理的方法来得到这个性质呢？

生：根据我们刚才画出的圆周角类型，我觉得要分三种情况进行证明.

师：你会从哪个图形入手证明？

生：先证明圆心在AC边上的情况（图5①）.

师：为什么？

生：这个图形最简单，最容易证明.

师：圆心在圆周角内部时，又如何证明∠BAC=12∠BOC呢？

生：过点A作直径AD（图5③）.

师：你是怎样想出来的呢？

生：把AO连接起来得到了对称型的基本图形.

师：还有不同的解释吗？（学生沉默.）

师：请大家对比一下图5①和图5②.

生：在证明第一种情况时有一条直径AC，我就想证明第二种情况的时候也可把过A点的直径画出来.

师：圆心在圆周角外部时又如何证明呢（图6①）？

生：类比第二种情况证明时辅助线的作法，把过A点的直径AD作出来再说（图6②）.

师：数学就是要敢于尝试.这样作辅助线是否可行呢？（教师巡视课堂发现较多学生没有什么进展.）

师：当我们把直径AD作出来后（图6②），能否从这个复杂图形中剥离出第一种情况的图形（图5①）呢？

生：把OB和AB线段隐藏之后，就能得到第一种情况的图形（图6③），也就得到了得∠CAD=12∠COD.

师：还能找出第一种情况的图形吗？

生：把OC和AC线段隐藏之后，也得到了第一种情况的图形（图6④），同理得到了∠BAD=12∠COD.

评析在探索圆周角性质之初， 教师通过问题驱动课堂，“你会从哪个图形开始证明？圆心在圆周角∠BAC的AC边上（图5①）.为什么？这个图形最简单，最容易证明”.在师生的互动过程中，教师向学生渗透了数学研究活动从简单到复杂、从特殊到一般的过程.此外，教师提出了一些生成性的问题，让圆周角性质的探索不断深入、层层递进. 古代教育家孔丘说：“不愤不启，不悱不发”.当问题难度不断升级，学生出现思维困惑时，教师不急着点破，在启发的过程中教师火候把握非常到位，恰到分寸. 如“请大家对比一下图5①和图5②”，学生通过观察，类比迁移，利用已知解决未知，进一步体会数学问题解决的基本途径，引导学生真正学会学习. 再如“能否从这个复杂图形中剥离出第一种情况的图形（图5①）呢？”这个问题引导学生学会从复杂图形找出基本图形，将陌生、复杂的数学问题转化为熟悉、简单的问题. 教师设计的一连串问题符合认知规律和知识生成规律.师生间富有层次和相互紧扣的设疑和解疑，让课堂灵动有序，精彩纷呈[2].

3.应用性质，生成推论.

（1）如图7，∠A是圆周角，若BC是直径，则∠A=度.

（2）如图7，∠A是圆周角，若∠A=90度，则∠BOC=度.

评析在圆周角性质探索完后，教师顺势将课堂进入了性质的应用环节.两个问题引出了圆周角性质定理的推论.教师将课本内容进行整合，将知识问题化、层次化，让学生在应用所学知识解决问题中生成了新知识，教学环节的过渡上自然而然，水到渠成.

二、教学反思

“§3.5圆周角①”这节课，容量大、难度大，一些有经验的教师在上这節课时，也会感到时间仓促，教学组织凌乱，课堂气氛沉闷.如何有序组织教学，激发学生思考与表达.如何在达成教学目标的同时，让学生的数学智慧在学习过程中得到提升，让学生的“数学核心素养”得到培养，让课堂更加流畅更加具有艺术性，这是当今数学教师要思考的问题.

数学课堂的流畅之美实质是教师严谨的教学思维、清晰的课堂思路、准确生动的数学表达、学生数学思维活跃的综合体现.数学课堂的流畅美超越了数学教学的一般要求，从教学艺术化的高度展示数学学科的魅力. 以问题驱动教学，实现数学课堂的流畅之美.教师就必须深入研究教材，弄清一系列的问题：教材为何按编排这些内容又为什么按这样顺序编写，教学内容有哪些知识点并且如何将知识点进行整合和问题化，各个环节间有什么内在的联系又如何进行衔接，每个环节可以渗透哪几种数学思想方法，哪些环节可以让学生获得数学活动经验，哪些环节能够培养学生从数学角度分析客观世界.只有弄清这些问题后，再进行精细化的教学设计，在知识点、能力点、思想方法处有序设问.设计的问题既要符合学生认知和知识生成规律，也要设在学生的最近发展区，并做到由简入难、层层深入、环环相扣，体现知识的螺旋上升和逐步生成的过程.同时，这些问题要以提高学生“数学智慧“和“数学核心素养”为落脚点，以培养学生学会学习为目标.

参考文献：

[1]赵庭标. 过程教学：培养学生数学素养的有效策略[J].江苏教育研究2015（32）

[2]廖辉辉、史宁中、朱丹红. 数学基本思想、核心素养的内涵及教学[J].初中数学教与学2016（3）