探讨平面几何图形面积计算的特殊方法

摘要：平面几何图形的面积计算是初中数学的重点和难点，教师在教学中要教会学生掌握“先往某个方向集中”、“超出多少就缩进多少”和“定理的特殊证明”等图形转换方法来解决问题，从而让学生感悟到图形的排除、包含、转化等重要数学思想.

关键词：平面几何图形；面积计算；特殊方法

作者简介：陈泽宁（1965-），男，汉族， 广东省台山市人， 大学学历，中学高级教师，台山市市管拔尖人才，台山市任远中学副校长，主要从事中学数学教学研究.平面几何图形的面积计算在初中数学教材中占有十分重要的地位，通过求平面几何图形面积的教学，能让学生掌握一些图形转换方法，感悟图形的排除、包含、转化等数学思想.而在教学过程中，平面几何图形面积计算的特殊计算是教与学中的一个难点，下面来谈谈三方种特殊的计算方法.

一、先往某个方向集中

例1有一块长为a米，宽为b米的长方形宅地，在这片土地上造了如图1所示的两条道路，道路宽为c米.那么，请问土地的面积剩下多少平方米？

分析思维较肤浅的同学极易分别求出四个梯形面积之和，或用大矩形ABCD的面积减去阴影部分的面积.尽管也能计算出，但费时费力；思维较深刻的学生，掌握问题的本质：把去掉道路的土地往左靠拢，然后再往上靠拢，于是变成了没有道路的长方形，如图2的情形.这样，就可以很简单地算出剩下土地的面积.

解 S土地= （a-c） （b-c） = ab-ac一bc+c2 （平方米）

二、“超出多少就缩进多少”的原理

例2计算出图3中灰色部分的面积.

分析一按常规的思路，可能出现以下的解法，如图4所示，从整体面积中扣掉圆的面积，就是所求的面积.如果要扣掉圆的面积，那么就要按图5把圆切成两半后再扣掉也是一样.如此一来，就出现了一个长方形的面积.

解法一所求的面积为S=12cm×4cm = 48cm2

分析二由于原来的图形很难做判断，因此我们在圆上加了一个长方形，把它变成了如图6所示的图形.如果把这个图形左右各延伸4 cm，右侧会出现我们要计算的图形，而左侧就会出现一个长方形.我们可以这样来思考，也就是说右侧延伸出多少面积，左侧就会内缩多少面积，如图7所示.

解法二所求的面积为S=12cm×4cm = 48cm2

点评像以上这样，可以用不改变面积的方法把它变成容易计算的图形，题目中右侧类似月牙形状的部分，就以这种方式被巧妙地变成了左边的长方形.在数学里，把这种思考方式叫做“卡瓦列利原理”.

拓展所谓卡瓦列利原理，道理跟用来画出水管突出部分线段的取样绘图器是一样的，如图8所示.同学们可以根据这种情况来思考“超出多少就缩进多少”的原理.

三、勾股定理的特殊证明

例3图9中，直角三角形的三边长为a、b、c，则c2=a2+b2成立.

分析只要证明出“两个小正方形面积之和等于斜边的大正方形面积”， 则c2=a2+b2就可以成立.所以，在如图10所示，只要把正方形CBED变成长方形JBHK，再把正方形AFGC变形为长方形AJKI就行了.

证明下面证明正方形CBED变成长方形JBHK：

1.首先把正方形CBED切割成细细的长方形，然后，按照顺序移动，把它变成为平行四边形ABEL（从图10→图11）.

2.B点不动，把这个平行四边形按顺时针方向方向旋转90°，变为平行四边形HBCM（图11→图12）.

3.把平行四边形HBCM以另外的細长法切割（图13）.

4.把细细的长方形按照顺序移动后，变形成为长方形JBHK（图13→图14）.

以同样的方法，可以证明把正方形AFGC变形为长方形AJKI.

使用这种方法，也许有人会对长方形的锯齿部分非常在意.但只要把长方形不断变细，那么锯齿的部分就会逐渐消失.这跟以后学习的“极限、积分”中所讲的原理是一样的.

在整个初中学习中，类似这几类妙解的题目很多，同学们如果经常探讨巧解妙证，不但能锻炼自己的观察分析能力，促使思维敏捷，沟通不同知识的内在联系，有助于培养自己综合运用知识的能力和提高解题的技能与技巧，从而发展思维的创造性.

参考文献：

[1]钱建华.注重方法形成过程促进课堂智慧生成[J].中学教研（数学），2014（11）：28-30.

[2]史宁中.数学教育的未来发展[J].数学教学，2014（1）：1-3.

[3]刘东升，余中华.数学是怎样学好的（初中版）[M].长春，吉林教育出版社，2014：41.