探讨可逆矩阵教学设计的思路

任驰远 田欣

【摘要】可逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，本文针对该知识的讲授方法进行了深入剖析。本文首先分析了该内容的重点是理解可逆矩阵、伴随矩阵的定义，同时需要学生熟练掌握可逆矩阵的性质和运用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵并针对教学难点：用伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，进行了课程设计，保证了学生能够有效、快速的掌握该内容。

【关键词】线性代数 可逆矩阵 课程设计

【基金项目】西南石油大学创新创业研究基金项目（SWPUSC16-22）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）04-0120-01

1.教学设计的特征

教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划，本课程内容就是需要把可逆矩阵的定义、计算等知识传授给学生。而要达成这个目标，教学要遵循教学过程的基本规律，选择教学手段，确定学生的学习需要和学习目标。教学设计确定通过一些具体的教学内容提升学习者的知识与技能，以计划和布局安排的形式，设计能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

教学设计是以系统方法为指导，使学生掌握需要的教学内容，应采用什么策略，即“如何学”。教学设计把教学各要素看成一个对立而统一的系统，分析教学中出现的问题和需求，确立解决的程序纲要，提高教学效果。教学设计是提高学习者获得知识、技能的效率和兴趣的技术过程。教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。对于可逆矩阵的讲授方法上，就需要应该遵循这些思路，从“为什么学”、“学什么”、“如何学”、“学得怎么样”的角度分析该课程内容，设计课堂结构，优化时间安排，提高教学效果。

2.知识结构的引入方法

首先回顾前面讲过的背景知识，复习定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算。而在矩阵乘法运算中，发现了一个重要性质：单位矩阵E的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n阶矩阵A，有

AEn=EnA=A。

在数的乘法运算中，对于非零数a，则存在唯一一个数b，使得ab=ba=1。

自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？

先看下面的引例。

通过引例发现：对于非零矩阵A，不一定存在矩阵B，使得AB=BA=E。如果这样的矩阵B存在，我们就称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵。可逆矩阵是一类重要的矩阵，而它的逆矩阵在矩阵的运算中起着重要作用。下面，我们来介绍可逆矩阵的定义、性质和矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求逆矩阵的方法。

3.知识内容的讲解

本节的知识内容主要包括可逆矩阵的定义、可逆矩阵的性质以及可逆矩阵的计算三大块内容。

3.1 可逆矩阵定义

首先讲解相关定义和概念。设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，也说A有逆矩阵。显然E是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵。如何求引例中的矩阵A的逆矩阵？由逆矩阵的定义，设B=a bc d，AB=BA=E，则可求出矩阵B。即采用待定元素的方法。

3.2可逆矩阵性质

略。

3.3伴随矩阵

然后阐述基于伴随矩阵的逆矩阵的求法。设A=（aij）n×n，Aij为A中元素aij的代数余子式，则可构成A的伴随矩阵。

3.4求逆方法—初等行变换法

接着论述逆矩阵的常规求法：可逆矩阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵。1）实用求逆法：设A可逆，用初等行变换化矩阵（A E）为（E X），则A-1=X。2）推广的实用求逆法：设A可逆，用初等行变换化矩阵（A B）为（E X），则X=A-1B。用行初等变换求逆短阵时，必须始终用行初等变换，其间不能作任何列初等变换。求满足一定关系式的未知矩阵，一般应先根据矩阵的运算化简关系式，再求出出相关矩阵的逆矩阵，最后求出未知矩阵。一般说来，用伴随矩阵法求矩阵的逆矩阵，计算量非常大，而且容易出错。我们常常采用实用求矩阵的逆矩阵的方法——初等变换法。

3.5计算过程中的注意事项

①若用初等行变换不能将矩阵[E-A B]可以化为矩阵[E Y]，说明E-A不可逆。此时，需用前面的待定元素的方法求矩阵X。

②求X的过程中，既可以先求出逆矩阵，后作乘法求，也可以直接求。但是若A可逆，且XA=C，则必须先求出A的逆矩阵A-1，后作乘法求。

③证明矩阵A可逆的方法：（1）定义法；（2）利用“方阵A可逆?A≠0”证明；

（3）若用初等行变换将矩阵[A E]可以化为矩阵[E X]，则A可逆。

④求可逆矩阵的逆矩阵的方法：

（1）（定义法）根据定义由待定元素的方法。

（2）（伴随矩阵法）设A为n阶方阵，A≠0，则A-1=A。

（3）（初等变换法）设A可逆，用初等行变换将矩阵[A E]化为矩阵[E X]，则A-1=X。

4.结论

可逆矩陣是线性代数中的一个重要概念，本文从“为什么学”、“学什么”、“如何学”、“学得怎么样”的角度阐述了该课程内容，设计课堂结构。该内容的重点是理解可逆矩阵、伴随矩阵的定义，熟练掌握可逆矩阵的性质和运用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵；难点是用伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵。本课程设计有利于学生理解可逆矩阵、伴随矩阵的定义；熟练掌握可逆矩阵的性质，有助于学生快速掌握运用初等行变换法计算逆矩阵。

作者简介：

任驰远（1981.3-），男，汉族，湖南汨罗人，博士，讲师。

田欣（1984.0-），女，汉族，甘肃武威人，硕士，讲师。